Trigonométrie Exemples

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $\sec^{4} (x)$ comme ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\tan^{4} (x)$ comme ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2} = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sec^{2} (x)$ et $b = \tan^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) \cdot 1 = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.4

Multipliez $\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ par $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Étape 2

Remplacez le $\sec^{2} (x)$ par $1 + \tan^{2} (x)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Étape 3

Additionnez $\tan^{2} (x)$ et $\tan^{2} (x)$ .

$1 + 2 \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Étape 4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$2 \tan^{2} (x) + 1 = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant $\tan (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $2 \tan^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$2 \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan^{2} (x) = 1$

Étape 5.2

Associez les termes opposés dans $2 \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan^{2} (x)$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2 \tan^{2} (x)$ de $2 \tan^{2} (x)$ .

$0 + 1 = 1$

Étape 5.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 = 1$

Étape 6

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$