Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (A) - \cos^{2} (A) = 2 \cos^{2} (A) \tan^{2} (A) - 1$

Étape 1

Remplacez le $\sin^{2} (A)$ par $1 - \cos^{2} (A)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (A)) - \cos^{2} (A) = 2 \cos^{2} (A) \tan^{2} (A) - 1$

Étape 2

Soustrayez $\cos^{2} (A)$ de $- \cos^{2} (A)$ .

$1 - 2 \cos^{2} (A) = 2 \cos^{2} (A) \tan^{2} (A) - 1$

Étape 3

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 = 2 \cos^{2} (A) \tan^{2} (A) - 1$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $\tan (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 = 2 \cos^{2} (A) {(\frac{\sin (A)}{\cos (A)})}^{2} - 1$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ .

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 = 2 \cos^{2} (A) \frac{\sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A)} - 1$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (A)$ .

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $\cos^{2} (A)$ à partir de $2 \cos^{2} (A)$ .

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 = \cos^{2} (A) \cdot 2 \frac{\sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A)} - 1$

Étape 4.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 = \cos^{2} (A) \cdot 2 \frac{\sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A)} - 1$

Étape 4.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 = 2 \sin^{2} (A) - 1$

Étape 5

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $2 \sin^{2} (A)$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 - 2 \sin^{2} (A) = - 1$

Étape 5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 - 2 \sin^{2} (A) + 1 = 0$

Étape 6

Simplifiez $- 2 \cos^{2} (A) + 1 - 2 \sin^{2} (A) + 1$ .

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Étape 6.1

Déplacez $- 2 \sin^{2} (A)$ .

$- 2 \cos^{2} (A) - 2 \sin^{2} (A) + 1 + 1 = 0$

Étape 6.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \cos^{2} (A)$ .

$- 2 (\cos^{2} (A)) - 2 \sin^{2} (A) + 1 + 1 = 0$

Étape 6.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \sin^{2} (A)$ .

$- 2 (\cos^{2} (A)) - 2 (\sin^{2} (A)) + 1 + 1 = 0$

Étape 6.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (\cos^{2} (A)) - 2 (\sin^{2} (A))$ .

$- 2 (\cos^{2} (A) + \sin^{2} (A)) + 1 + 1 = 0$

Étape 6.5

Réorganisez les termes.

$- 2 (\sin^{2} (A) + \cos^{2} (A)) + 1 + 1 = 0$

Étape 6.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 2 \cdot 1 + 1 + 1 = 0$

Étape 6.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + 1 + 1 = 0$

Étape 6.8

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- 1 + 1 = 0$

Étape 6.9

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0 = 0$

Étape 7

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $A$ .

Tous les nombres réels

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$