Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (2 x) - 2 \sin (2 x) = - 1$

Étape 1

Remplacez $\sin (2 x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} - 2 u = - 1$

Étape 2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Étape 4

Définissez le $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 6

Remplacez $u$ par $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) = 1$

Étape 7

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (1)$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 10

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Simplifiez

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Étape 11.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 11.1.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 11.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 11.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 2$ .

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Étape 11.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 11.1.4.2

Soustrayez $π$ de $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 11.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 11.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 11.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 11.2.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 12

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 12.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 12.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 12.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 12.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 13

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$