Trigonométrie Exemples

$\log_{8} (5 x) - \log_{8} (13 + \sqrt{x}) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{8} (\frac{5 x}{13 + \sqrt{x}}) = 2$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{5 x}{13 + \sqrt{x}}$ par $\frac{13 - \sqrt{x}}{13 - \sqrt{x}}$ .

$\log_{8} (\frac{5 x}{13 + \sqrt{x}} \cdot \frac{13 - \sqrt{x}}{13 - \sqrt{x}}) = 2$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{5 x}{13 + \sqrt{x}}$ par $\frac{13 - \sqrt{x}}{13 - \sqrt{x}}$ .

$\log_{8} (\frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{(13 + \sqrt{x}) (13 - \sqrt{x})}) = 2$

Étape 1.4

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\log_{8} (\frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{169 - 13 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 13 - {\sqrt{x}}^{2}}) = 2$

Étape 1.5

Simplifiez

$\log_{8} (\frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{- x + 169}) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log_{8} (\frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{- x + 169}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$8^{2} = \frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{- x + 169}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$5 x (13 - \sqrt{x}) = 8^{2} (- x + 169)$

Étape 4

Simplifiez $8^{2} (- x + 169)$ .

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Étape 4.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$5 x (13 - \sqrt{x}) = 64 (- x + 169)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x (13 - \sqrt{x}) = 64 (- x) + 64 \cdot 169$

Étape 4.3

Multipliez.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$5 x (13 - \sqrt{x}) = - 64 x + 64 \cdot 169$

Étape 4.3.2

Multipliez $64$ par $169$ .

$5 x (13 - \sqrt{x}) = - 64 x + 10816$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Ajoutez $64 x$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x (13 - \sqrt{x}) + 64 x = 10816$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \cdot 13 + 5 x (- \sqrt{x}) + 64 x = 10816$

Étape 5.2.2

Multipliez $13$ par $5$ .

$65 x + 5 x (- \sqrt{x}) + 64 x = 10816$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$65 x - 5 x \sqrt{x} + 64 x = 10816$

Étape 5.3

Additionnez $65 x$ et $64 x$ .

$- 5 x \sqrt{x} + 129 x = 10816$

Étape 6

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x \sqrt{x} + 129 x$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x \sqrt{x}$ .

$x (- 5 \sqrt{x}) + 129 x = 10816$

Étape 6.2

Factorisez $x$ à partir de $129 x$ .

$x (- 5 \sqrt{x}) + x \cdot 129 = 10816$

Étape 6.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 5 \sqrt{x}) + x \cdot 129$ .

$x (- 5 \sqrt{x} + 129) = 10816$

Étape 7

Résolvez $- 5 \sqrt{x}$ .

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $x (- 5 \sqrt{x} + 129) = 10816$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Divisez chaque terme dans $x (- 5 \sqrt{x} + 129) = 10816$ par $x$ .

$\frac{x (- 5 \sqrt{x} + 129)}{x} = \frac{10816}{x}$

Étape 7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 5 \sqrt{x} + 129)}{x} = \frac{10816}{x}$

Étape 7.1.2.1.2

Divisez $- 5 \sqrt{x} + 129$ par $1$ .

$- 5 \sqrt{x} + 129 = \frac{10816}{x}$

Étape 7.2

Soustrayez $129$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 \sqrt{x} = \frac{10816}{x} - 129$

Étape 8

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 5 \sqrt{x})}^{2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Étape 9

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Simplifiez ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 9.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Étape 9.2.1.2

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Étape 9.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 9.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Étape 9.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Étape 9.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$25 x^{1} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Étape 9.2.1.4

Simplifiez

$25 x = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Simplifiez ${(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$ .

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Étape 9.3.1.1

Réécrivez ${(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$ comme $(\frac{10816}{x} - 129) (\frac{10816}{x} - 129)$ .

$25 x = (\frac{10816}{x} - 129) (\frac{10816}{x} - 129)$

Étape 9.3.1.2

Développez $(\frac{10816}{x} - 129) (\frac{10816}{x} - 129)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$25 x = \frac{10816}{x} (\frac{10816}{x} - 129) - 129 (\frac{10816}{x} - 129)$

Étape 9.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$25 x = \frac{10816}{x} \cdot \frac{10816}{x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 (\frac{10816}{x} - 129)$

Étape 9.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$25 x = \frac{10816}{x} \cdot \frac{10816}{x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.3.1.1

Multipliez $\frac{10816}{x} \cdot \frac{10816}{x}$ .

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Étape 9.3.1.3.1.1.1

Multipliez $\frac{10816}{x}$ par $\frac{10816}{x}$ .

$25 x = \frac{10816 \cdot 10816}{x \cdot x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3.1.1.2

Multipliez $10816$ par $10816$ .

$25 x = \frac{116985856}{x \cdot x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{1} x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3.1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{1} x^{1}} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 x = \frac{116985856}{x^{1 + 1}} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3.1.2

Multipliez $\frac{10816}{x} \cdot - 129$ .

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Étape 9.3.1.3.1.2.1

Associez $\frac{10816}{x}$ et $- 129$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{10816 \cdot - 129}{x} - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3.1.2.2

Multipliez $10816$ par $- 129$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{- 1395264}{x} - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3.1.4

Multipliez $- 129 \frac{10816}{x}$ .

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Étape 9.3.1.3.1.4.1

Associez $- 129$ et $\frac{10816}{x}$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} + \frac{- 129 \cdot 10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3.1.4.2

Multipliez $- 129$ par $10816$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} + \frac{- 1395264}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} - \frac{1395264}{x} - 129 \cdot - 129$

Étape 9.3.1.3.1.6

Multipliez $- 129$ par $- 129$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} - \frac{1395264}{x} + 16641$

Étape 9.3.1.3.2

Soustrayez $\frac{1395264}{x}$ de $- \frac{1395264}{x}$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - 2 \frac{1395264}{x} + 16641$

Étape 9.3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.4.1

Multipliez $- 2 \frac{1395264}{x}$ .

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Étape 9.3.1.4.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{1395264}{x}$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{- 2 \cdot 1395264}{x} + 16641$

Étape 9.3.1.4.1.2

Multipliez $- 2$ par $1395264$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{- 2790528}{x} + 16641$

Étape 9.3.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{2790528}{x} + 16641$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 10.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, x, 1$

Étape 10.1.2

Since $1, x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Étape 10.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 10.1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 10.1.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 10.1.6

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 10.1.7

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 10.1.8

Le plus petit multiple commun de $x^{2}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x$

Étape 10.1.9

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2}$

Étape 10.2

Multiplier chaque terme dans $25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{2790528}{x} + 16641$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 10.2.1

Multipliez chaque terme dans $25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{2790528}{x} + 16641$ par $x^{2}$ .

$25 x \cdot x^{2} = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.2.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$25 (x^{2} x) = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 10.2.2.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$25 (x^{2} x^{1}) = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Étape 10.2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 x^{2 + 1} = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Étape 10.2.2.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$25 x^{3} = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Étape 10.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 10.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$25 x^{3} = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Étape 10.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$25 x^{3} = 116985856 - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Étape 10.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 10.2.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2790528}{x}$ dans le numérateur.

$25 x^{3} = 116985856 + \frac{- 2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Étape 10.2.3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$25 x^{3} = 116985856 + \frac{- 2790528}{x} (x \cdot x) + 16641 x^{2}$

Étape 10.2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$25 x^{3} = 116985856 + \frac{- 2790528}{x} (x \cdot x) + 16641 x^{2}$

Étape 10.2.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$25 x^{3} = 116985856 - 2790528 x + 16641 x^{2}$

Étape 10.3

Résolvez l’équation.

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Étape 10.3.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 10.3.1.1

Soustrayez $116985856$ des deux côtés de l’équation.

$25 x^{3} - 116985856 = - 2790528 x + 16641 x^{2}$

Étape 10.3.1.2

Ajoutez $2790528 x$ aux deux côtés de l’équation.

$25 x^{3} - 116985856 + 2790528 x = 16641 x^{2}$

Étape 10.3.1.3

Soustrayez $16641 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$25 x^{3} - 116985856 + 2790528 x - 16641 x^{2} = 0$

Étape 10.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856 = 0$

Étape 10.3.2.2

Factorisez $25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 10.3.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 116985856, \pm 2, \pm 58492928, \pm 4, \pm 29246464, \pm 8, \pm 14623232, \pm 13, \pm 8998912, \pm 16, \pm 7311616, \pm 26, \pm 4499456, \pm 32, \pm 3655808, \pm 52, \pm 2249728, \pm 64, \pm 1827904, \pm 104, \pm 1124864, \pm 128, \pm 913952, \pm 169, \pm 692224, \pm 208, \pm 562432, \pm 256, \pm 456976, \pm 338, \pm 346112, \pm 416, \pm 281216, \pm 512, \pm 228488, \pm 676, \pm 173056, \pm 832, \pm 140608, \pm 1024, \pm 114244, \pm 1352, \pm 86528, \pm 1664, \pm 70304, \pm 2048, \pm 57122, \pm 2197, \pm 53248, \pm 2704, \pm 43264, \pm 3328, \pm 35152, \pm 4096, \pm 28561, \pm 4394, \pm 26624, \pm 5408, \pm 21632, \pm 6656, \pm 17576, \pm 8788, \pm 13312, \pm 10816$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Étape 10.3.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 116985856, \pm 4679434.24, \pm 23397171.2, \pm 2, \pm 0.08, \pm 0.4, \pm 58492928, \pm 2339717.12, \pm 11698585.6, \pm 4, \pm 0.16, \pm 0.8, \pm 29246464, \pm 1169858.56, \pm 5849292.8, \pm 8, \pm 0.32, \pm 1.6, \pm 14623232, \pm 584929.28, \pm 2924646.4, \pm 13, \pm 0.52, \pm 2.6, \pm 8998912, \pm 359956.48, \pm 1799782.4, \pm 16, \pm 0.64, \pm 3.2, \pm 7311616, \pm 292464.64, \pm 1462323.2, \pm 26, \pm 1.04, \pm 5.2, \pm 4499456, \pm 179978.24, \pm 899891.2, \pm 32, \pm 1.28, \pm 6.4, \pm 3655808, \pm 146232.32, \pm 731161.6, \pm 52, \pm 2.08, \pm 10.4, \pm 2249728, \pm 89989.12, \pm 449945.6, \pm 64, \pm 2.56, \pm 12.8, \pm 1827904, \pm 73116.16, \pm 365580.8, \pm 104, \pm 4.16, \pm 20.8, \pm 1124864, \pm 44994.56, \pm 224972.8, \pm 128, \pm 5.12, \pm 25.6, \pm 913952, \pm 36558.08, \pm 182790.4, \pm 169, \pm 6.76, \pm 33.8, \pm 692224, \pm 27688.96, \pm 138444.8, \pm 208, \pm 8.32, \pm 41.6, \pm 562432, \pm 22497.28, \pm 112486.4, \pm 256, \pm 10.24, \pm 51.2, \pm 456976, \pm 18279.04, \pm 91395.2, \pm 338, \pm 13.52, \pm 67.6, \pm 346112, \pm 13844.48, \pm 69222.4, \pm 416, \pm 16.64, \pm 83.2, \pm 281216, \pm 11248.64, \pm 56243.2, \pm 512, \pm 20.48, \pm 102.4, \pm 228488, \pm 9139.52, \pm 45697.6, \pm 676, \pm 27.04, \pm 135.2, \pm 173056, \pm 6922.24, \pm 34611.2, \pm 832, \pm 33.28, \pm 166.4, \pm 140608, \pm 5624.32, \pm 28121.6, \pm 1024, \pm 40.96, \pm 204.8, \pm 114244, \pm 4569.76, \pm 22848.8, \pm 1352, \pm 54.08, \pm 270.4, \pm 86528, \pm 3461.12, \pm 17305.6, \pm 1664, \pm 66.56, \pm 332.8, \pm 70304, \pm 2812.16, \pm 14060.8, \pm 2048, \pm 81.92, \pm 409.6, \pm 57122, \pm 2284.88, \pm 11424.4, \pm 2197, \pm 87.88, \pm 439.4, \pm 53248, \pm 2129.92, \pm 10649.6, \pm 2704, \pm 108.16, \pm 540.8, \pm 43264, \pm 1730.56, \pm 8652.8, \pm 3328, \pm 133.12, \pm 665.6, \pm 35152, \pm 1406.08, \pm 7030.4, \pm 4096, \pm 163.84, \pm 819.2, \pm 28561, \pm 1142.44, \pm 5712.2, \pm 4394, \pm 175.76, \pm 878.8, \pm 26624, \pm 1064.96, \pm 5324.8, \pm 5408, \pm 216.32, \pm 1081.6, \pm 21632, \pm 865.28, \pm 4326.4, \pm 6656, \pm 266.24, \pm 1331.2, \pm 17576, \pm 703.04, \pm 3515.2, \pm 8788, \pm 351.52, \pm 1757.6, \pm 13312, \pm 532.48, \pm 2662.4, \pm 10816, \pm 432.64, \pm 2163.2$

Étape 10.3.2.2.3

Remplacez $64$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $64$ est une racine du polynôme.

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Étape 10.3.2.2.3.1

Remplacez $64$ dans le polynôme.

$25 \cdot 64^{3} - 16641 \cdot 64^{2} + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Étape 10.3.2.2.3.2

Élevez $64$ à la puissance $3$ .

$25 \cdot 262144 - 16641 \cdot 64^{2} + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Étape 10.3.2.2.3.3

Multipliez $25$ par $262144$ .

$6553600 - 16641 \cdot 64^{2} + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Étape 10.3.2.2.3.4

Élevez $64$ à la puissance $2$ .

$6553600 - 16641 \cdot 4096 + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Étape 10.3.2.2.3.5

Multipliez $- 16641$ par $4096$ .

$6553600 - 68161536 + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Étape 10.3.2.2.3.6

Soustrayez $68161536$ de $6553600$ .

$- 61607936 + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Étape 10.3.2.2.3.7

Multipliez $2790528$ par $64$ .

$- 61607936 + 178593792 - 116985856$

Étape 10.3.2.2.3.8

Additionnez $- 61607936$ et $178593792$ .

$116985856 - 116985856$

Étape 10.3.2.2.3.9

Soustrayez $116985856$ de $116985856$ .

$0$

Étape 10.3.2.2.4

Comme $64$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 64$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856}{x - 64}$

Étape 10.3.2.2.5

Divisez $25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856$ par $x - 64$ .

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Étape 10.3.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$64$

$25 x^{3}$

$16641 x^{2}$

$2790528 x$

$116985856$

Étape 10.3.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $25 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$25 x^{2}$
	$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$

Étape 10.3.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			+	$25 x^{3}$	-	$1600 x^{2}$

Étape 10.3.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $25 x^{3} - 1600 x^{2}$

				$25 x^{2}$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$

Étape 10.3.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$

Étape 10.3.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$

Étape 10.3.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 15041 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$

Étape 10.3.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					-	$15041 x^{2}$	+	$962624 x$

Étape 10.3.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 15041 x^{2} + 962624 x$

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$

Étape 10.3.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$

Étape 10.3.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$

Étape 10.3.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $1827904 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$	+	$1827904$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$

Étape 10.3.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$	+	$1827904$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$

Étape 10.3.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $1827904 x - 116985856$

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$	+	$1827904$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$
							-	$1827904 x$	+	$116985856$

Étape 10.3.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$	+	$1827904$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$
							-	$1827904 x$	+	$116985856$
										$0$

Étape 10.3.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$25 x^{2} - 15041 x + 1827904$

Étape 10.3.2.2.6

Écrivez $25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 64) (25 x^{2} - 15041 x + 1827904) = 0$

Étape 10.3.2.3

Factorisez.

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Étape 10.3.2.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.3.2.3.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 25 \cdot 1827904 = 45697600$ et dont la somme est $b = - 15041$ .

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Étape 10.3.2.3.1.1.1

Factorisez $- 15041$ à partir de $- 15041 x$ .

$(x - 64) (25 x^{2} - 15041 x + 1827904) = 0$

Étape 10.3.2.3.1.1.2

Réécrivez $- 15041$ comme $- 4225$ plus $- 10816$

$(x - 64) (25 x^{2} + (- 4225 - 10816) x + 1827904) = 0$

Étape 10.3.2.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 64) (25 x^{2} - 4225 x - 10816 x + 1827904) = 0$

Étape 10.3.2.3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.3.2.3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 64) ((25 x^{2} - 4225 x) - 10816 x + 1827904) = 0$

Étape 10.3.2.3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 64) (25 x (x - 169) - 10816 (x - 169)) = 0$

Étape 10.3.2.3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 169$ .

$(x - 64) ((x - 169) (25 x - 10816)) = 0$

Étape 10.3.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 64) (x - 169) (25 x - 10816) = 0$

Étape 10.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 64 = 0$

$x - 169 = 0$

$25 x - 10816 = 0$

Étape 10.3.4

Définissez $x - 64$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.3.4.1

Définissez $x - 64$ égal à $0$ .

$x - 64 = 0$

Étape 10.3.4.2

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 64$

Étape 10.3.5

Définissez $x - 169$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.3.5.1

Définissez $x - 169$ égal à $0$ .

$x - 169 = 0$

Étape 10.3.5.2

Ajoutez $169$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 169$

Étape 10.3.6

Définissez $25 x - 10816$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.3.6.1

Définissez $25 x - 10816$ égal à $0$ .

$25 x - 10816 = 0$

Étape 10.3.6.2

Résolvez $25 x - 10816 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.3.6.2.1

Ajoutez $10816$ aux deux côtés de l’équation.

$25 x = 10816$

Étape 10.3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $25 x = 10816$ par $25$ et simplifiez.

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Étape 10.3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $25 x = 10816$ par $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{10816}{25}$

Étape 10.3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 10.3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 x}{25} = \frac{10816}{25}$

Étape 10.3.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{10816}{25}$

Étape 10.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 64) (x - 169) (25 x - 10816) = 0$ vraie.

$x = 64, 169, \frac{10816}{25}$

Étape 11

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{8} (5 x) - \log_{8} (13 + \sqrt{x}) = 2$ vrai.

$x = \frac{10816}{25}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{10816}{25}$

Forme décimale :

$x = 432.64$

Forme de nombre mixte :

$x = 432 \frac{16}{25}$