Trigonométrie Exemples

$0 = 1 - 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6})$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $1 - 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = 0$ .

$1 - 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = 0$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = - 1$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6})}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6})}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\sin (- 3 x + \frac{π}{6})$ par $1$ .

$\sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$

Étape 4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$- 3 x + \frac{π}{6} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$- 3 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{6}$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x = \frac{π}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 x = \frac{π - π}{6}$

Étape 6.3

Soustrayez $π$ de $π$ .

$- 3 x = \frac{0}{6}$

Étape 6.4

Divisez $0$ par $6$ .

$- 3 x = 0$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- 3 x = 0$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = 0$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{- 3}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $0$ par $- 3$ .

$x = 0$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$- 3 x + \frac{π}{6} = π - \frac{π}{6}$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 9.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$- 3 x + \frac{π}{6} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 9.1.2

Associez les fractions.

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Étape 9.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$- 3 x + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 9.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 x + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 9.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$- 3 x + \frac{π}{6} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 9.1.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$- 3 x + \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 9.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 x = \frac{5 π - π}{6}$

Étape 9.2.3

Soustrayez $π$ de $5 π$ .

$- 3 x = \frac{4 π}{6}$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 9.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$- 3 x = \frac{2 (2 π)}{6}$

Étape 9.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- 3 x = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Étape 9.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 x = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Étape 9.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 x = \frac{2 π}{3}$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x = \frac{2 π}{3}$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = \frac{2 π}{3}$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{- 3}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{- 3}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{- 3}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

Étape 9.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{2 π}{3} (- \frac{1}{3})$

Étape 9.3.3.3

Multipliez $\frac{2 π}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 9.3.3.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = - \frac{2 π}{3 \cdot 3}$

Étape 9.3.3.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = - \frac{2 π}{9}$

Étape 10

Déterminez la période de $\sin (- 3 x + \frac{π}{6})$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $- 3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| - 3 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 3$ et $0$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 11

Ajoutez $\frac{2 π}{3}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 11.1

Ajoutez $\frac{2 π}{3}$ à $- \frac{2 π}{9}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{2 π}{9} + \frac{2 π}{3}$

Étape 11.2

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{9}$

Étape 11.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{2 π}{9}$

Étape 11.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{9} - \frac{2 π}{9}$

Étape 11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{9}$

Étape 11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - 2 π}{9}$

Étape 11.5.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$\frac{4 π}{9}$

Étape 11.6

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{4 π}{9}$

Étape 12

La période de la fonction $\sin (- 3 x + \frac{π}{6})$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$