Trigonométrie Exemples

$16 x^{2} + 4 y^{2} - 8 y - 12 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $4 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} - 8 y - 12 = - 4 y^{2}$

Étape 1.2

Ajoutez $8 y$ aux deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} - 12 = - 4 y^{2} + 8 y$

Étape 1.3

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} = - 4 y^{2} + 8 y + 12$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $16 x^{2} = - 4 y^{2} + 8 y + 12$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $16 x^{2} = - 4 y^{2} + 8 y + 12$ par $16$ .

$\frac{16 x^{2}}{16} = \frac{- 4 y^{2}}{16} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x^{2}}{16} = \frac{- 4 y^{2}}{16} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4 y^{2}}{16} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $16$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$x^{2} = \frac{4 (- y^{2})}{16} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Étape 2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$x^{2} = \frac{4 (- y^{2})}{4 (4)} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Étape 2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{4 (- y^{2})}{4 \cdot 4} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Étape 2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Étape 2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Étape 2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $16$ .

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Étape 2.3.1.3.1

Factorisez $8$ à partir de $8 y$ .

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 (y)}{16} + \frac{12}{16}$

Étape 2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{8 \cdot 2} + \frac{12}{16}$

Étape 2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{8 \cdot 2} + \frac{12}{16}$

Étape 2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{12}{16}$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun à $12$ et $16$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{4 (3)}{16}$

Étape 2.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Étape 2.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Étape 2.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{3}{4}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{3}{4}}$ .

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{y}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}$

Étape 4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{y}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot 2}{4} + \frac{3}{4}}$

Étape 4.3

Associez en une fraction.

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Étape 4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + y \cdot 2}{4} + \frac{3}{4}}$

Étape 4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + y \cdot 2 + 3}{4}}$

Étape 4.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + 2 y + 3}{4}}$

Étape 4.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 4.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + 2 (y) + 3}{4}}$

Étape 4.5.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + (- 1 + 3) y + 3}{4}}$

Étape 4.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 1 y + 3 y + 3}{4}}$

Étape 4.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x = \pm \sqrt{\frac{(- y^{2} - 1 y) + 3 y + 3}{4}}$

Étape 4.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x = \pm \sqrt{\frac{y (- y - 1) - 3 (- y - 1)}{4}}$

Étape 4.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- y - 1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(- y - 1) (y - 3)}{4}}$

Étape 4.6

Réécrivez $\frac{(- y - 1) (y - 3)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((- y - 1) (y - 3))$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(- y - 1) (y - 3)$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((- y - 1) (y - 3))}{4}}$

Étape 4.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((- y - 1) (y - 3))}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 4.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((- y - 1) (y - 3))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((- y - 1) (y - 3))}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(- y - 1) (y - 3)}$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$