Trigonométrie Exemples

$3 \sqrt{2 \sin (x) + 2} = - 1$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt{2 \sin (x) + 2})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 \sin (x) + 2}$ comme ${(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(3 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {({(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 {({(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 {(2 \sin (x) + 2)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.4

Simplifiez

$9 (2 \sin (x) + 2) = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$9 (2 \sin (x)) + 9 \cdot 2 = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.6

Multipliez.

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Étape 2.2.1.6.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 \sin (x) + 9 \cdot 2 = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.6.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$18 \sin (x) + 18 = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$18 \sin (x) + 18 = 1$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$18 \sin (x) = 1 - 18$

Étape 3.1.2

Soustrayez $18$ de $1$ .

$18 \sin (x) = - 17$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $18 \sin (x) = - 17$ par $18$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $18 \sin (x) = - 17$ par $18$ .

$\frac{18 \sin (x)}{18} = \frac{- 17}{18}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $18$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 \sin (x)}{18} = \frac{- 17}{18}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 17}{18}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{17}{18}$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{17}{18})$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{17}{18})$ .

$x = - 1.23590016$

Étape 3.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) + 1.23590016 + 3.14159265$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) + 1.23590016 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 1.23590016 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 3.6.2

L’angle résultant de $4.37749282$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) + 1.23590016 + 3.14159265$ .

$x = 4.37749282$

Étape 3.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.8.1

Ajoutez $2 π$ à $- 1.23590016$ pour déterminer l’angle positif.

$- 1.23590016 + 2 π$

Étape 3.8.2

Soustrayez $1.23590016$ de $2 π$ .

$5.04728513$

Étape 3.8.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 5.04728513$

Étape 3.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 4.37749282 + 2 π n, 5.04728513 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $3 \sqrt{2 \sin (x) + 2} = - 1$ vrai.

Aucune solution