Trigonométrie Exemples

$3 \cos (y) = 2 \sec (y)$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $3 \cos (y) = 2 \sec (y)$ par $3 \cos (y)$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $3 \cos (y) = 2 \sec (y)$ par $3 \cos (y)$ .

$\frac{3 \cos (y)}{3 \cos (y)} = \frac{2 \sec (y)}{3 \cos (y)}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cos (y)}{3 \cos (y)} = \frac{2 \sec (y)}{3 \cos (y)}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sec (y)}{3 \cos (y)}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (y)$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sec (y)}{3 \cos (y)}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{2 \sec (y)}{3 \cos (y)}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Séparez les fractions.

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sec (y)}{\cos (y)}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\cos (y)}$

Étape 1.3.3

Réécrivez $\frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\cos (y)}$ comme un produit.

$1 = \frac{2}{3} (\frac{1}{\cos (y)} \cdot \frac{1}{\cos (y)})$

Étape 1.3.4

Multipliez $\frac{1}{\cos (y)}$ par $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (y) \cos (y)}$

Étape 1.3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.5.1

Élevez $\cos (y)$ à la puissance $1$ .

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (y) \cos (y)}$

Étape 1.3.5.2

Élevez $\cos (y)$ à la puissance $1$ .

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)}$

Étape 1.3.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{\cos (y)}^{1 + 1}}$

Étape 1.3.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)}$

Étape 1.3.6

Associez les fractions.

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Étape 1.3.6.1

Associez.

$1 = \frac{2 \cdot 1}{3 \cos^{2} (y)}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 = \frac{2}{3 \cos^{2} (y)}$

Étape 1.3.7

Multipliez par $1$ .

$1 = \frac{2}{3 (\cos^{2} (y) \cdot 1)}$

Étape 1.3.8

Séparez les fractions.

$1 = \frac{2}{3 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)}$

Étape 1.3.9

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ à $\sec^{2} (y)$ .

$1 = \frac{2}{3 \cdot (1)} \sec^{2} (y)$

Étape 1.3.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 = \frac{2}{3} \sec^{2} (y)$

Étape 1.3.11

Associez $\frac{2}{3}$ et $\sec^{2} (y)$ .

$1 = \frac{2 \sec^{2} (y)}{3}$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 \sec^{2} (y)}{3} = 1$ .

$\frac{2 \sec^{2} (y)}{3} = 1$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sec^{2} (y)}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sec^{2} (y)}{3}$ .

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Étape 4.1.1.1

Associez.

$\frac{3 (2 \sec^{2} (y))}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 \sec^{2} (y))}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sec^{2} (y)}{2} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 4.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sec^{2} (y)}{2} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 4.1.1.3.2

Divisez $\sec^{2} (y)$ par $1$ .

$\sec^{2} (y) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\sec^{2} (y) = \frac{3}{2}$

Étape 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y) = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Étape 6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 6.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 6.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Étape 6.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sec (y) = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sec (y) = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sec (y) = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 8

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $y$ .

$\sec (y) = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\sec (y) = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 9

Résolvez $y$ dans $\sec (y) = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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Étape 9.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la sécante.

$y = arcsec (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

Évaluez $arcsec (\frac{\sqrt{6}}{2})$ .

$y = 0.6154797$

Étape 9.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$y = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Étape 9.4

Résolvez $y$ .

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Étape 9.4.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Étape 9.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 0.6154797$ .

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Étape 9.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$y = 6.2831853 - 0.6154797$

Étape 9.4.2.2

Soustrayez $0.6154797$ de $6.2831853$ .

$y = 5.66770559$

Étape 9.5

Déterminez la période de $\sec (y)$ .

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Étape 9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9.6

La période de la fonction $\sec (y)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$y = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Résolvez $y$ dans $\sec (y) = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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Étape 10.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la sécante.

$y = arcsec (- \frac{\sqrt{6}}{2})$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

Évaluez $arcsec (- \frac{\sqrt{6}}{2})$ .

$y = 2.52611294$

Étape 10.3

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$y = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Étape 10.4

Résolvez $y$ .

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Étape 10.4.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Étape 10.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 2.52611294$ .

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Étape 10.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$y = 6.2831853 - 2.52611294$

Étape 10.4.2.2

Soustrayez $2.52611294$ de $6.2831853$ .

$y = 3.75707236$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\sec (y)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.6

La période de la fonction $\sec (y)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$y = 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Consolidez les solutions.

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Étape 12.1

Consolidez $0.6154797 + 2 π n$ et $3.75707236 + 2 π n$ en $0.6154797 + π n$ .

$y = 0.6154797 + π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12.2

Consolidez $5.66770559 + 2 π n$ et $2.52611294 + 2 π n$ en $2.52611294 + π n$ .

$y = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + π n$ , pour tout entier $n$