Trigonométrie Exemples

$30 = 11 (\frac{π}{3} \cdot (\cos (x) + 1)) + 36$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $11 (\frac{π}{3}) \cdot (\cos (x) + 1) + 36 = 30$ .

$11 (\frac{π}{3}) \cdot (\cos (x) + 1) + 36 = 30$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Associez $11$ et $\frac{π}{3}$ .

$\frac{11 π}{3} \cdot (\cos (x) + 1) + 36 = 30$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 π}{3} \cos (x) + \frac{11 π}{3} \cdot 1 + 36 = 30$

Étape 2.3

Associez $\frac{11 π}{3}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{11 π \cos (x)}{3} + \frac{11 π}{3} \cdot 1 + 36 = 30$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{11 π}{3}$ par $1$ .

$\frac{11 π \cos (x)}{3} + \frac{11 π}{3} + 36 = 30$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\cos (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{11 π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{11 π \cos (x)}{3} + 36 = 30 - \frac{11 π}{3}$

Étape 3.2

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{11 π \cos (x)}{3} = 30 - \frac{11 π}{3} - 36$

Étape 3.3

Soustrayez $36$ de $30$ .

$\frac{11 π \cos (x)}{3} = - 6 - \frac{11 π}{3}$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{11 π}$ .

$\frac{3}{11 π} \cdot \frac{11 π \cos (x)}{3} = \frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $\frac{3}{11 π} \cdot \frac{11 π \cos (x)}{3}$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{11 π} \cdot \frac{11 π \cos (x)}{3} = \frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$

Étape 5.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{11 π} (11 π \cos (x)) = \frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$

Étape 5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $11 π$ .

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Étape 5.1.1.2.1

Factorisez $11 π$ à partir de $11 π \cos (x)$ .

$\frac{1}{11 π} (11 π \cos (x)) = \frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$

Étape 5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{11 π} (11 π \cos (x)) = \frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$

Étape 5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) = \frac{3}{11 π} \cdot - 6 + \frac{3}{11 π} (- \frac{11 π}{3})$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $\frac{3}{11 π} \cdot - 6$ .

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Étape 5.2.1.2.1

Associez $\frac{3}{11 π}$ et $- 6$ .

$\cos (x) = \frac{3 \cdot - 6}{11 π} + \frac{3}{11 π} (- \frac{11 π}{3})$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} + \frac{3}{11 π} (- \frac{11 π}{3})$

Étape 5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{11 π}{3}$ dans le numérateur.

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} + \frac{3}{11 π} \cdot \frac{- 11 π}{3}$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} + \frac{3}{11 π} \cdot \frac{- 11 π}{3}$

Étape 5.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} + \frac{1}{11 π} (- 11 π)$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun de $11 π$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Factorisez $11 π$ à partir de $- 11 π$ .

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} + \frac{1}{11 π} (11 π (- 1))$

Étape 5.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} + \frac{1}{11 π} (11 π \cdot - 1)$

Étape 5.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} - 1$

Étape 5.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{18}{11 π} - 1$

Étape 6

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{18}{11 π} - 1)$

Étape 7

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \arccos (- \frac{18}{11 π} - 1)$

Étape 8

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \arccos (- \frac{18}{11 π} - 1) + 2 π n, 2 π - \arccos (- \frac{18}{11 π} - 1) + 2 π n$ , pour tout entier $n$