Trigonométrie Exemples

$3 \tan (x) \cos (x) = - \sqrt{3} \cos (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$3 (\tan (x) \cos (x)) = - \sqrt{3} \cos (x)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $3 \tan (x) \cos (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$3 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) = - \sqrt{3} \cos (x)$

Étape 1.1.3

Annulez les facteurs communs.

$3 \sin (x) = - \sqrt{3} \cos (x)$

Étape 2

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Séparez les fractions.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{3}{1} \cdot \tan (x) = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 5

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \tan (x) = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$3 \tan (x) = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.2

Divisez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$3 \tan (x) = - \sqrt{3}$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $3 \tan (x) = - \sqrt{3}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $3 \tan (x) = - \sqrt{3}$ par $3$ .

$\frac{3 \tan (x)}{3} = \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \tan (x)}{3} = \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 8

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 9

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.1

La valeur exacte de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 10

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Étape 11

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 11.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Étape 11.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{6}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 12

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 12.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 12.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 12.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 12.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 13

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 13.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + π$

Étape 13.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 13.3

Associez les fractions.

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Étape 13.3.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 13.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 13.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 13.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Étape 13.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 14

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Consolidez les réponses.

$x = \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$