Trigonométrie Exemples

$4 \sin^{4} (x) = 1 - 2 \cos (2 \cdot x) + \cos^{2} (2 \cdot x)$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{4} (x) - 1 = - 2 \cos (2 \cdot x) + \cos^{2} (2 \cdot x)$

Étape 1.2

Ajoutez $2 \cos (2 \cdot x)$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{4} (x) - 1 + 2 \cos (2 \cdot x) = \cos^{2} (2 \cdot x)$

Étape 1.3

Soustrayez $\cos^{2} (2 \cdot x)$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{4} (x) - 1 + 2 \cos (2 \cdot x) - \cos^{2} (2 \cdot x) = 0$

Étape 2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) - 1 + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (2 \cdot x) = 0$

Étape 3

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) - 1 + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 0$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{4} (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 1$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1

Simplifiez $4 \sin^{4} (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin^{4} (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 1$

Étape 5.1.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 1$

Étape 5.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 1$

Étape 5.1.1.4

Réécrivez ${(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$ comme $(1 - 2 \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - ((1 - 2 \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Étape 5.1.1.5

Développez $(1 - 2 \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Étape 5.1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Étape 5.1.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Étape 5.1.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Étape 5.1.1.6.1.2

Multipliez $- 2 \sin^{2} (x)$ par $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Étape 5.1.1.6.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Étape 5.1.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot - 2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) = 1$

Étape 5.1.1.6.1.5

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.1.6.1.5.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))) = 1$

Étape 5.1.1.6.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot - 2 {\sin (x)}^{2 + 2}) = 1$

Étape 5.1.1.6.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot - 2 \sin^{4} (x)) = 1$

Étape 5.1.1.6.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)) = 1$

Étape 5.1.1.6.2

Soustrayez $2 \sin^{2} (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)) = 1$

Étape 5.1.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - (- 4 \sin^{2} (x)) - (4 \sin^{4} (x)) = 1$

Étape 5.1.1.8

Simplifiez

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Étape 5.1.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 - (- 4 \sin^{2} (x)) - (4 \sin^{4} (x)) = 1$

Étape 5.1.1.8.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 + 4 \sin^{2} (x) - (4 \sin^{4} (x)) = 1$

Étape 5.1.1.8.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 + 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 1$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.1.2.1

Associez les termes opposés dans $4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 + 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x)$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Additionnez $- 4 \sin^{2} (x)$ et $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 + 0 - 1 - 4 \sin^{4} (x) = 1$

Étape 5.1.2.1.2

Additionnez $4 \sin^{4} (x) + 2$ et $0$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 1 - 4 \sin^{4} (x) = 1$

Étape 5.1.2.1.3

Soustrayez $4 \sin^{4} (x)$ de $4 \sin^{4} (x)$ .

$0 + 2 - 1 = 1$

Étape 5.1.2.1.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$2 - 1 = 1$

Étape 5.1.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 = 1$

Étape 6

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$