Trigonométrie Exemples

$- 5 + \csc (x) = (\frac{- 15 - 2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 1

Simplifiez $\frac{- 15 - 2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$- 5 + \csc (x) = \frac{- 1 (15) - 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$- 5 + \csc (x) = \frac{- 1 (15) - (2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (15) - (2 \sqrt{3})$ .

$- 5 + \csc (x) = \frac{- 1 (15 + 2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 5 + \csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\csc (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$\csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3} + 5$

Étape 2.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.3

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\csc (x) = \frac{- (15 + 2 \sqrt{3}) + 5 \cdot 3}{3}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) = \frac{- 1 \cdot 15 - (2 \sqrt{3}) + 5 \cdot 3}{3}$

Étape 2.5.2

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\csc (x) = \frac{- 15 - (2 \sqrt{3}) + 5 \cdot 3}{3}$

Étape 2.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\csc (x) = \frac{- 15 - 2 \sqrt{3} + 5 \cdot 3}{3}$

Étape 2.5.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$\csc (x) = \frac{- 15 - 2 \sqrt{3} + 15}{3}$

Étape 2.5.5

Additionnez $- 15$ et $15$ .

$\csc (x) = \frac{0 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.5.6

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $0$ .

$\csc (x) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 5

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 6.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 7

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 8.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.3

Associez les fractions.

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Étape 8.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 8.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 9

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$