Trigonométrie Exemples

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 1

Remplacez $\cos^{2} (x)$ par $1 - \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) = 0$

Étape 3.1.2

Remettez dans l’ordre $2 \sin^{2} (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $1$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$- \cos^{2} (x) + 1 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.1.4

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$- \cos^{2} (x) + (- 1 + 2) (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \cos^{2} (x) - 1 (\cos (x) \sin (x)) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.1.6

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.1.7

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\cos (x) (- \cos (x) - \sin (x)) - 2 \sin (x) (- \cos (x) - \sin (x)) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- \cos (x) - \sin (x)$ .

$(- \cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - 2 \sin (x)) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

$\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 5

Définissez $- \cos (x) - \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $- \cos (x) - \sin (x)$ égal à $0$ .

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $- \cos (x) - \sin (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5.2.3

Séparez les fractions.

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5.2.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5.2.5

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5.2.6

Séparez les fractions.

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5.2.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 5.2.8

Divisez $0$ par $1$ .

$- 1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 5.2.9

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$- 1 - \tan (x) = 0$

Étape 5.2.10

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = 1$

Étape 5.2.11

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.11.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.11.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.11.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.11.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.11.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.11.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Étape 5.2.12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 5.2.13

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.13.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.14

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 5.2.15

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.15.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 5.2.15.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.16

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.16.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.16.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.16.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.17

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.17.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 5.2.17.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.17.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.17.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.17.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.2.17.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.17.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 5.2.17.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.17.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.18

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\cos (x) - 2 \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $\cos (x) - 2 \sin (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.3

Séparez les fractions.

$1 + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.5

Divisez $- 2$ par $1$ .

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.6

Séparez les fractions.

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 6.2.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 6.2.8

Divisez $0$ par $1$ .

$1 - 2 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 6.2.9

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$1 - 2 \tan (x) = 0$

Étape 6.2.10

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \tan (x) = - 1$

Étape 6.2.11

Divisez chaque terme dans $- 2 \tan (x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.11.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \tan (x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.2.11.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.11.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.2.11.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.2.11.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.11.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

Étape 6.2.13

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.13.1

Évaluez $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$x = 0.4636476$

Étape 6.2.14

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Étape 6.2.15

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.15.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Étape 6.2.15.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Étape 6.2.15.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Étape 6.2.16

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.16.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.2.16.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 6.2.16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 6.2.16.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6.2.17

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- \cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - 2 \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez $0.4636476 + π n$ et $3.60524026 + π n$ en $0.4636476 + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 0.4636476 + π n$ , pour tout entier $n$