Trigonométrie Exemples

$2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 1

Remplacez le $2 \sin^{2} (x)$ par $2 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 - 3 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 = 0$

Étape 5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 \cos^{2} (x) = - 2$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \cos^{2} (x) = - 2$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 2}{- 3}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos^{2} (x) = \frac{2}{3}$

Étape 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Étape 8

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 8.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 8.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Étape 8.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 9.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 11.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Étape 11.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Étape 11.4

Résolvez $x$ .

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Étape 11.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Étape 11.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 0.6154797$ .

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Étape 11.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.6154797$

Étape 11.4.2.2

Soustrayez $0.6154797$ de $6.2831853$ .

$x = 5.66770559$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 12.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{\sqrt{6}}{3})$ .

$x = 2.52611294$

Étape 12.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Étape 12.4

Résolvez $x$ .

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Étape 12.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Étape 12.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 2.52611294$ .

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Étape 12.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.52611294$

Étape 12.4.2.2

Soustrayez $2.52611294$ de $6.2831853$ .

$x = 3.75707236$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Consolidez les solutions.

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Étape 14.1

Consolidez $0.6154797 + 2 π n$ et $3.75707236 + 2 π n$ en $0.6154797 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14.2

Consolidez $5.66770559 + 2 π n$ et $2.52611294 + 2 π n$ en $2.52611294 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + π n$ , pour tout entier $n$