Trigonométrie Exemples

$2 \tan^{2} (x) \sin (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$2 (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cdot \sin (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 1.1.3

Associez $2$ et $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \sin (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$ .

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Étape 1.1.4.1

Associez $\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 1.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin^{2} (x))}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 1.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 2}}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 1.1.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 1.1.5

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = 0$

Étape 1.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \sin^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Factorisez $\sin^{2} (x)$ à partir de $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 1.2.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 1.2.3

Séparez les fractions.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 1.2.4

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 1.2.5

Divisez $2 (\sin (x))$ par $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 1.2.6

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $2 \sin (x) \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $2 \sin (x) \tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) (2 \sin (x)) + \tan^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Multipliez par $1$ .

$\tan^{2} (x) (2 \sin (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $\tan^{2} (x) (2 \sin (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1$ .

$\tan^{2} (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan^{2} (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\tan^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan^{2} (x)$ égal à $0$ .

$\tan^{2} (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\tan (x) = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 4.2.3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 4.2.6

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = - 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 5.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 5.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 5.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 5.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 5.2.8.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 5.2.8.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.2.8.3

Associez les fractions.

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Étape 5.2.8.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.2.8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 5.2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.8.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 5.2.8.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 5.2.8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 5.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\tan^{2} (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez $π n$ et $π + π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$