Trigonométrie Exemples

$20 + \ln (5) = 2 \ln (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $2 \ln (x) = 20 + \ln (5)$ .

$2 \ln (x) = 20 + \ln (5)$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \ln (x) - \ln (5) = 20$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $2 \ln (x) - \ln (5)$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (x^{2}) - \ln (5) = 20$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{5}) = 20$

Étape 4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{x^{2}}{5})} = e^{20}$

Étape 5

Réécrivez $\ln (\frac{x^{2}}{5}) = 20$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{20} = \frac{x^{2}}{5}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x^{2}}{5} = e^{20}$ .

$\frac{x^{2}}{5} = e^{20}$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$5 \frac{x^{2}}{5} = 5 e^{20}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{x^{2}}{5} = 5 e^{20}$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 5 e^{20}$

Étape 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5 e^{20}}$

Étape 6.5

Simplifiez $\pm \sqrt{5 e^{20}}$ .

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Étape 6.5.1

Réécrivez $5 e^{20}$ comme ${({(e^{5})}^{2})}^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.5.1.1

Réécrivez $e^{20}$ comme ${(e^{10})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5 {(e^{10})}^{2}}$

Étape 6.5.1.2

Remettez dans l’ordre $5$ et ${(e^{10})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(e^{10})}^{2} \cdot 5}$

Étape 6.5.1.3

Réécrivez $e^{10}$ comme ${(e^{5})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{({(e^{5})}^{2})}^{2} \cdot 5}$

Étape 6.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm {(e^{5})}^{2} \sqrt{5}$

Étape 6.5.3

Multipliez les exposants dans ${(e^{5})}^{2}$ .

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Étape 6.5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm e^{5 \cdot 2} \sqrt{5}$

Étape 6.5.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$x = \pm e^{10} \sqrt{5}$

Étape 6.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = e^{10} \sqrt{5}$

Étape 6.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - e^{10} \sqrt{5}$

Étape 6.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = e^{10} \sqrt{5}, - e^{10} \sqrt{5}$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $20 + \ln (5) = 2 \ln (x)$ vrai.

$x = e^{10} \sqrt{5}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = e^{10} \sqrt{5}$

Forme décimale :

$x = 49252.67482126 \dots$