Trigonométrie Exemples

$2 \sec (x) \cos^{2} (x) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) = 0$

Étape 1

Remplacez le $\cos^{2} (x)$ par $1 - \sin^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) = 0$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \sin^{2} (x) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) + 1 = 0$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $- \sin^{2} (x) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) + 1$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.1.1

Déplacez $1$ .

$- \sin^{2} (x) + 1 - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) = 0$

Étape 3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et $1$ .

$1 - \sin^{2} (x) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) = 0$

Étape 3.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos^{2} (x) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) = 0$

Étape 3.1.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) = 0$

Étape 3.1.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\cot^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)) = 0$

Étape 3.1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ .

$\cos^{2} (x) - (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)) = 0$

Étape 3.1.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 3.1.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3.1.5.2

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3.1.5.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3.1.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 3.1.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 3.1.5.6

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 3.1.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \sin^{2} (x) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- \sin^{2} (x) = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- \sin^{2} (x) = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin^{2} (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Étape 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 6

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sin (x) = \pm 0$

Étape 6.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 7

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 9

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 10

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 11

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 11.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$