Trigonométrie Exemples

$2 \sin (3 x + 15) - 5 = - 6$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (3 x + 15)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (3 x + 15) = - 6 + 5$

Étape 1.2

Additionnez $- 6$ et $5$ .

$2 \sin (3 x + 15) = - 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (3 x + 15) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (3 x + 15) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (3 x + 15)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (3 x + 15)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sin (3 x + 15)$ par $1$ .

$\sin (3 x + 15) = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (3 x + 15) = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$3 x + 15 = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$3 x + 15 = - \frac{π}{6}$

Étape 5

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - \frac{π}{6} - 15$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $3 x = - \frac{π}{6} - 15$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - \frac{π}{6} - 15$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3} + \frac{- 15}{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3} + \frac{- 15}{3}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3} + \frac{- 15}{3}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- 15}{3}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6} + \frac{- 15}{3}$

Étape 6.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$x = - \frac{π}{18} + \frac{- 15}{3}$

Étape 6.3.1.3

Divisez $- 15$ par $3$ .

$x = - \frac{π}{18} - 5$

Étape 7

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$3 x + 15 = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x + 15 = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 8.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x + 15 = \frac{7 π}{6}$

Étape 8.3

Résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = \frac{7 π}{6} - 15$

Étape 8.3.2

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{7 π}{6} - 15$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{7 π}{6} - 15$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3} + \frac{- 15}{3}$

Étape 8.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3} + \frac{- 15}{3}$

Étape 8.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3} + \frac{- 15}{3}$

Étape 8.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- 15}{3}$

Étape 8.3.2.3.1.2

Multipliez $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 8.3.2.3.1.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3} + \frac{- 15}{3}$

Étape 8.3.2.3.1.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{- 15}{3}$

Étape 8.3.2.3.1.3

Divisez $- 15$ par $3$ .

$x = \frac{7 π}{18} - 5$

Étape 9

Déterminez la période de $\sin (3 x + 15)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 10

Ajoutez $\frac{2 π}{3}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 10.1

Ajoutez $\frac{2 π}{3}$ à $- \frac{π}{18} - 5$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{18} - 5 + \frac{2 π}{3}$

Étape 10.2

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18} - 5$

Étape 10.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18} - 5$

Étape 10.3.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18} - 5$

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18} - 5$

Étape 10.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{18} - 5$

Étape 10.5.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{18} - 5$

Étape 10.6

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{18} - 5$

Étape 11

La période de la fonction $\sin (3 x + 15)$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{18} - 5 + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} - 5 + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$