Trigonométrie Exemples

$13 = 3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) + 12$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) + 12 = 13$ .

$3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) + 12 = 13$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79))$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) = 13 - 12$

Étape 2.2

Soustrayez $12$ de $13$ .

$3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) = 1$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) = 1$ par $3$ .

$\frac{3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79))}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79))}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79))$ par $1$ .

$\sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) = \frac{1}{3}$

Étape 4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79) = \arcsin (\frac{1}{3})$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1

Simplifiez $\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 π}{365} x + \frac{2 π}{365} \cdot - 79 = \arcsin (\frac{1}{3})$

Étape 5.1.2

Associez $\frac{2 π}{365}$ et $x$ .

$\frac{2 π x}{365} + \frac{2 π}{365} \cdot - 79 = \arcsin (\frac{1}{3})$

Étape 5.1.3

Multipliez $\frac{2 π}{365} \cdot - 79$ .

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Étape 5.1.3.1

Associez $\frac{2 π}{365}$ et $- 79$ .

$\frac{2 π x}{365} + \frac{2 π \cdot - 79}{365} = \arcsin (\frac{1}{3})$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $- 79$ par $2$ .

$\frac{2 π x}{365} + \frac{- 158 π}{365} = \arcsin (\frac{1}{3})$

Étape 5.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 π x}{365} - \frac{158 π}{365} = \arcsin (\frac{1}{3})$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$\frac{2 π x}{365} - \frac{158 π}{365} = 0.3398369$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Ajoutez $\frac{158 π}{365}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2 π x}{365} = 0.3398369 + \frac{158 π}{365}$

Étape 7.2

Additionnez $0.3398369$ et $\frac{158 π}{365}$ .

$\frac{2 π x}{365} = 1.6997592$

Étape 8

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$

Étape 9

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 9.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.1.1

Simplifiez $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365}$ .

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Étape 9.1.1.1

Annulez le facteur commun de $365$ .

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Étape 9.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$

Étape 9.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$

Étape 9.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2 π$ .

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Étape 9.1.1.2.1

Factorisez $2 π$ à partir de $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$

Étape 9.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$

Étape 9.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

Simplifiez $\frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$ .

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $\frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$ .

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Étape 9.2.1.1.1

Associez $\frac{365}{2 π}$ et $1.6997592$ .

$x = \frac{365 \cdot 1.6997592}{2 π}$

Étape 9.2.1.1.2

Multipliez $365$ par $1.6997592$ .

$x = \frac{620.41211121}{2 π}$

Étape 9.2.1.2

Remplacez $π$ par une approximation.

$x = \frac{620.41211121}{2 \cdot 3.14159265}$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = \frac{620.41211121}{6.2831853}$

Étape 9.2.1.4

Divisez $620.41211121$ par $6.2831853$ .

$x = 98.74165425$

Étape 10

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{2 π x}{365} - \frac{158 π}{365} = (3.14159265) - 0.3398369$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Soustrayez $0.3398369$ de $3.14159265$ .

$\frac{2 π x}{365} - \frac{158 π}{365} = 2.80175574$

Étape 11.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 11.2.1

Ajoutez $\frac{158 π}{365}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2 π x}{365} = 2.80175574 + \frac{158 π}{365}$

Étape 11.2.2

Additionnez $2.80175574$ et $\frac{158 π}{365}$ .

$\frac{2 π x}{365} = 4.16167804$

Étape 11.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$

Étape 11.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 11.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.4.1.1

Simplifiez $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365}$ .

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Étape 11.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $365$ .

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Étape 11.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$

Étape 11.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$

Étape 11.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2 π$ .

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Étape 11.4.1.1.2.1

Factorisez $2 π$ à partir de $2 π x$ .

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$

Étape 11.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$

Étape 11.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$

Étape 11.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.4.2.1

Simplifiez $\frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$ .

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Étape 11.4.2.1.1

Multipliez $\frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$ .

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Étape 11.4.2.1.1.1

Associez $\frac{365}{2 π}$ et $4.16167804$ .

$x = \frac{365 \cdot 4.16167804}{2 π}$

Étape 11.4.2.1.1.2

Multipliez $365$ par $4.16167804$ .

$x = \frac{1519.01248587}{2 π}$

Étape 11.4.2.1.2

Remplacez $π$ par une approximation.

$x = \frac{1519.01248587}{2 \cdot 3.14159265}$

Étape 11.4.2.1.3

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = \frac{1519.01248587}{6.2831853}$

Étape 11.4.2.1.4

Divisez $1519.01248587$ par $6.2831853$ .

$x = 241.75834574$

Étape 12

Déterminez la période de $\sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79))$ .

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Étape 12.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.2

Remplacez $b$ par $\frac{2 π}{365}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{365} |}$

Étape 12.3

$\frac{2 π}{365}$ est d’environ $0.0172142$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{365}}$

Étape 12.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Étape 12.5

Annulez le facteur commun de $2 π$ .

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Étape 12.5.1

Annulez le facteur commun.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Étape 12.5.2

Réécrivez l’expression.

$365$

Étape 13

La période de la fonction $\sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79))$ est $365$ si bien que les valeurs se répètent tous les $365$ radians dans les deux sens.

$x = 98.74165425 + 365 n, 241.75834574 + 365 n$ , pour tout entier $n$