Trigonométrie Exemples

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 3.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.8.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 3.2.8.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.8.3

Associez les fractions.

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Étape 3.2.8.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 3.2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.8.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 3.2.8.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 3.2.8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 3.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\sin (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin (x) - 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = 1$

Étape 4.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.5

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 4.2.5.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$