Trigonométrie Exemples

${(\cos (θ) - \sin (θ))}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(\cos (θ) - \sin (θ))}^{2}$ comme $(\cos (θ) - \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ .

$(\cos (θ) - \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Étape 2

Développez $(\cos (θ) - \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (θ) (\cos (θ) - \sin (θ)) - \sin (θ) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 3.1.1.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

Étape 3.1.1.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

Étape 3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

Étape 3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

Étape 3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \sin (θ) (- \sin (θ))$

Étape 3.1.3

Multipliez $- \sin (θ) (- \sin (θ))$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + 1 \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $\sin (θ)$ par $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 3.1.3.3

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ)$

Étape 3.1.3.4

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)$

Étape 3.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Étape 3.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ) + \sin^{2} (θ)$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $- \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ)$

Étape 3.3

Soustrayez $\cos (θ) \sin (θ)$ de $- \cos (θ) \sin (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ)$

Étape 4

Déplacez $\sin^{2} (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 5

Réorganisez les termes.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ)$