Trigonométrie Exemples

$\tan (θ) = 2$ , $\sin (θ) < 0$

Étape 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The tangent function is positive in the first and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solution se trouve dans le troisième quadrant.

Étape 2

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\tan (θ) = \frac{opposé}{adjacent}$

Étape 3

Déterminez l’hypoténuse du triangle du cercle unité. Les côtés opposé et adjacent étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Hypoténuse = \sqrt{{opposé}^{2} + {adjacent}^{2}}$

Étape 4

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Hypoténuse = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 5.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{4 + 1}$

Étape 5.3

Additionnez $4$ et $1$ .

Hypoténuse $= \sqrt{5}$

Étape 6

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{5}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\sin (θ)$ .

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 6.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 6.3.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 6.3.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 6.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 6.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 6.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 6.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 7

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 7.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{5}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cos (θ)$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 7.3.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 7.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 7.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 7.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 7.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 8.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\sec (θ)$ .

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Étape 9.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$\sec (θ) = - 1 \cdot \sqrt{5}$

Étape 9.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{5}$ comme $- \sqrt{5}$ .

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 2}$

Étape 10.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = 2$

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$