Trigonométrie Exemples

$2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $1 - \cos^{2} (x)$ par $1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\cos (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} - 1$

Étape 2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \cos^{2} (x) = \frac{3 - 1 \cdot 4}{4}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- \cos^{2} (x) = \frac{3 - 4}{4}$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$- \cos^{2} (x) = \frac{- 1}{4}$

Étape 2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Étape 3.2.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos^{2} (x) = \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Étape 3.3.2

Divisez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Étape 4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $60$ .

$x = 60$

Étape 8.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 360 - 60$

Étape 8.4

Soustrayez $60$ de $360$ .

$x = 300$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 8.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 9.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $120$ .

$x = 120$

Étape 9.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 360 - 120$

Étape 9.4

Soustrayez $120$ de $360$ .

$x = 240$

Étape 9.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 9.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 9.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 120 + 360 n, 240 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

$x = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n, 240 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les solutions.

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Étape 11.1

Consolidez $60 + 360 n$ et $240 + 360 n$ en $60 + 180 n$ .

$x = 60 + 180 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 11.2

Consolidez $300 + 360 n$ et $120 + 360 n$ en $120 + 180 n$ .

$x = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , pour tout entier $n$