Trigonométrie Exemples

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \tan (x) = 0$

Étape 1.1.2

Multipliez $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $2$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + \tan (x) = 0$

Étape 1.1.2.2

Associez $\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot (2 \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Étape 1.1.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Étape 1.1.2.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Étape 1.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Étape 1.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Étape 1.1.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.2.4

Divisez $2 (\sin (x))$ par $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.2.5

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $2 \sin (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) = 0$

Étape 2.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) = 0$

Étape 2.3

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan^{1} (x)$ .

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) \cdot 1 = 0$

Étape 2.4

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) \cdot 1$ .

$\tan (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 180 + 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $180$ et $0$ .

$x = 180$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$x = 180 n, 180 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = - 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- 30$ .

$x = - 30$

Étape 5.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $360$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 360 + 30 + 180$

Étape 5.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.6.1

Soustrayez $360 °$ de $360 + 30 + 180 °$ .

$x = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Étape 5.2.6.2

L’angle résultant de $210 °$ est positif, inférieur à $360 °$ et coterminal avec $360 + 30 + 180$ .

$x = 210 °$

Étape 5.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 5.2.7.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 5.2.8

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1

Ajoutez $360$ à $- 30$ pour déterminer l’angle positif.

$- 30 + 360$

Étape 5.2.8.2

Soustrayez $30$ de $360$ .

$330$

Étape 5.2.8.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 330$

Étape 5.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\tan (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = 180 n, 180 + 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez $180 n$ et $180 + 180 n$ en $180 n$ .

$x = 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , pour tout entier $n$