Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 15 \\ c = \\ a = & 9 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 106 \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$c = \sqrt{{(9)}^{2} + {(15)}^{2} - 2 \cdot 9 \cdot 15 \cos (106)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{81 + {(15)}^{2} - 2 \cdot 9 \cdot (15 \cos (106))}$

Étape 4.2

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{81 + 225 - 2 \cdot 9 \cdot (15 \cos (106))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 9 \cdot 15$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$c = \sqrt{81 + 225 - 18 \cdot (15 \cos (106))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 18$ par $15$ .

$c = \sqrt{81 + 225 - 270 \cos (106)}$

Étape 4.4

Évaluez $\cos (106)$ .

$c = \sqrt{81 + 225 - 270 \cdot - 0.27563735}$

Étape 4.5

Multipliez $- 270$ par $- 0.27563735$ .

$c = \sqrt{81 + 225 + 74.42208607}$

Étape 4.6

Additionnez $81$ et $225$ .

$c = \sqrt{306 + 74.42208607}$

Étape 4.7

Additionnez $306$ et $74.42208607$ .

$c = \sqrt{380.42208607}$

Étape 4.8

Évaluez la racine.

$c = 19.50441196$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $A$ .

$\frac{\sin (A)}{9} = \frac{\sin (106)}{19.50441196}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$9 \frac{\sin (A)}{9} = 9 \frac{\sin (106)}{19.50441196}$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{\sin (A)}{9} = 9 \frac{\sin (106)}{19.50441196}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 9 \frac{\sin (106)}{19.50441196}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $9 \frac{\sin (106)}{19.50441196}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Évaluez $\sin (106)$ .

$\sin (A) = 9 (\frac{0.96126169}{19.50441196})$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $0.96126169$ par $19.50441196$ .

$\sin (A) = 9 \cdot 0.04928432$

Étape 7.2.2.1.3

Multipliez $9$ par $0.04928432$ .

$\sin (A) = 0.44355888$

Étape 7.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (0.44355888)$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Évaluez $\arcsin (0.44355888)$ .

$A = 26.33117358$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$A = 180 - 26.33117358$

Étape 7.6

Soustrayez $26.33117358$ de $180$ .

$A = 153.66882641$

Étape 7.7

La solution de l’équation est $A = 26.33117358$ .

$A = 26.33117358, 153.66882641$

Étape 7.8

Excluez l’angle non valide.

$A = 26.33117358$

Étape 8

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$26.33117358 + 106 + B = 180$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 9.1

Additionnez $26.33117358$ et $106$ .

$132.33117358 + B = 180$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $132.33117358$ des deux côtés de l’équation.

$B = 180 - 132.33117358$

Étape 9.2.2

Soustrayez $132.33117358$ de $180$ .

$B = 47.66882641$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 26.33117358$

$B = 47.66882641$

$C = 106$

$a = 9$

$b = 15$

$c = 19.50441196$