Trigonométrie Exemples

$3 \sin^{2} (θ) - 4 = - 4 \sin (θ)$

Étape 1

Ajoutez $4 \sin (θ)$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \sin^{2} (θ) - 4 + 4 \sin (θ) = 0$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 \sin^{2} (θ) + 4 \sin (θ) - 4 = 0$

Étape 2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sin (θ)$ .

$3 \sin^{2} (θ) + 4 \sin (θ) - 4 = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $4$ comme $- 2$ plus $6$

$3 \sin^{2} (θ) + (- 2 + 6) \sin (θ) - 4 = 0$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \sin^{2} (θ) - 2 \sin (θ) + 6 \sin (θ) - 4 = 0$

Étape 2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$3 \sin^{2} (θ) - 2 \sin (θ) + 6 \sin (θ) - 4 = 0$

Étape 2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\sin (θ) (3 \sin (θ) - 2) + 2 (3 \sin (θ) - 2) = 0$

Étape 2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 \sin (θ) - 2$ .

$(3 \sin (θ) - 2) (\sin (θ) + 2) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 \sin (θ) - 2 = 0$

$\sin (θ) + 2 = 0$

Étape 4

Définissez $3 \sin (θ) - 2$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $3 \sin (θ) - 2$ égal à $0$ .

$3 \sin (θ) - 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $3 \sin (θ) - 2 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \sin (θ) = 2$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 \sin (θ) = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \sin (θ) = 2$ par $3$ .

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (θ)$ par $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2}{3}$

Étape 4.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (\frac{2}{3})$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{2}{3})$ .

$θ = 41.81031489$

Étape 4.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = 180 - 41.81031489$

Étape 4.2.6

Soustrayez $41.81031489$ de $180$ .

$θ = 138.1896851$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 41.81031489 + 360 n, 138.1896851 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\sin (θ) + 2$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sin (θ) + 2$ égal à $0$ .

$\sin (θ) + 2 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sin (θ) + 2 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (θ) = - 2$

Étape 5.2.2

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- 2$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 \sin (θ) - 2) (\sin (θ) + 2) = 0$ vraie.

$θ = 41.81031489 + 360 n, 138.1896851 + 360 n$ , pour tout entier $n$