Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$u^{2} + u = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} + u$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$u \cdot u + u = 0$

Étape 1.2.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u \cdot u + u = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$u (u + 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = 180 - 0$

Étape 3.2.4

Soustrayez $0$ de $180$ .

$x = 180$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 3.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 360 n, 180 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 4.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- 90$ .

$x = - 90$

Étape 4.2.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $360$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 360 + 90 + 180$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $360 °$ de $360 + 90 + 180 °$ .

$x = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Étape 4.2.5.2

L’angle résultant de $270 °$ est positif, inférieur à $360 °$ et coterminal avec $360 + 90 + 180$ .

$x = 270 °$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 4.2.7

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.7.1

Ajoutez $360$ à $- 90$ pour déterminer l’angle positif.

$- 90 + 360$

Étape 4.2.7.2

Soustrayez $90$ de $360$ .

$270$

Étape 4.2.7.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 270$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (\sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = 360 n, 180 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez $360 n$ et $180 + 360 n$ en $180 n$ .

$x = 180 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier $n$