Trigonométrie Exemples

$2 \sin (\frac{π}{3} x) = \sqrt{2}$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (\frac{π}{3} x) = \sqrt{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (\frac{π}{3} x) = \sqrt{2}$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{3} x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (\frac{π}{3} x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{π}{3} x)$ par $1$ .

$\sin (\frac{π}{3} x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{π}{3} x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Associez $\frac{π}{3}$ et $x$ .

$\frac{π x}{3} = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π x}{3} = \frac{π}{4}$

Étape 5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Étape 6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1

Simplifiez $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

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Étape 6.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Étape 6.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Étape 6.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Étape 6.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Étape 6.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Simplifiez $\frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Étape 6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 (\frac{1}{4})$

Étape 6.2.1.2

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3}{4}$

Étape 7

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{π x}{3} = π - \frac{π}{4}$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Étape 8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Simplifiez $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Étape 8.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Étape 8.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 8.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Étape 8.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Étape 8.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3}{π} (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Étape 8.2.2.1.2

Associez les fractions.

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Étape 8.2.2.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3}{π} (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Étape 8.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 8.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 8.2.2.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{3 π}{4}$

Étape 8.2.2.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 8.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 8.2.2.1.4.1.1

Factorisez $π$ à partir de $3 π$ .

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot 3}{4}$

Étape 8.2.2.1.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot 3}{4}$

Étape 8.2.2.1.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 3 (\frac{3}{4})$

Étape 8.2.2.1.4.2

Associez $3$ et $\frac{3}{4}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{4}$

Étape 8.2.2.1.4.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{9}{4}$

Étape 9

Déterminez la période de $\sin (\frac{π}{3} x)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $\frac{π}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Étape 9.3

$\frac{π}{3}$ est d’environ $1.04719755$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Étape 9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{3}{π}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Étape 9.5.2

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Étape 9.5.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 3$

Étape 9.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$6$

Étape 10

La période de la fonction $\sin (\frac{π}{3} x)$ est $6$ si bien que les valeurs se répètent tous les $6$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3}{4} + 6 n, \frac{9}{4} + 6 n$ , pour tout entier $n$