Trigonométrie Exemples

$4 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Étape 1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (4 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Étape 1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) (4 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Étape 1.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{1} (x)$ .

$\cos (x) (4 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Étape 1.4

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (4 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ .

$\cos (x) (4 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$4 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $90$ .

$x = 90$

Étape 3.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 360 - 90$

Étape 3.2.4

Soustrayez $90$ de $360$ .

$x = 270$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 3.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $4 \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $4 \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$4 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $4 \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin (x) = - 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 \sin (x) = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin (x) = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{4}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

Étape 4.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{4})$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{1}{4})$ .

$x = - 14.47751218$

Étape 4.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $360$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 360 + 14.47751218 + 180$

Étape 4.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.6.1

Soustrayez $360 °$ de $360 + 14.47751218 + 180 °$ .

$x = 360 + 14.47751218 + 180 ° - 360 °$

Étape 4.2.6.2

L’angle résultant de $194.47751218 °$ est positif, inférieur à $360 °$ et coterminal avec $360 + 14.47751218 + 180$ .

$x = 194.47751218 °$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 4.2.8

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.8.1

Ajoutez $360$ à $- 14.47751218$ pour déterminer l’angle positif.

$- 14.47751218 + 360$

Étape 4.2.8.2

Soustrayez $14.47751218$ de $360$ .

$345.52248781$

Étape 4.2.8.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 345.52248781$

Étape 4.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 194.47751218 + 360 n, 345.52248781 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (x) (4 \sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 194.47751218 + 360 n, 345.52248781 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez $90 + 360 n$ et $270 + 360 n$ en $90 + 180 n$ .

$x = 90 + 180 n, 194.47751218 + 360 n, 345.52248781 + 360 n$ , pour tout entier $n$