Trigonométrie Exemples

$(8, 15 °)$

Étape 1

Utilisez les formules de conversion pour convertir des coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues de $r = 8$ et $θ = 15 °$ dans les formules.

$x = (8) \cos (15 °)$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3

La valeur exacte de $\cos (15 °)$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 3.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$x = 8 \cos (45 - 30)$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.2

Séparez la négation.

$x = 8 \cos (45 - (30))$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$x = 8 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30))$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$x = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 3.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 8 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = 8 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = 8 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (8) \sin (15 °)$

$x = 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (8) \sin (15 °)$

$x = 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (8) \sin (15 °)$

$x = 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 3.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 8 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (8) \sin (15 °)$

$x = 8 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (8) \sin (15 °)$

$x = 8 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = 4 (2) (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$x = 4 \cdot (2 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}))$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

$y = (8) \sin (15 °)$

$x = 2 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = (8) \sin (15 °)$

Étape 6

La valeur exacte de $\sin (15 °)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 6.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 \sin (45 - 30)$

Étape 6.2

Séparez la négation.

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 \sin (45 - (30))$

Étape 6.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Étape 6.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Étape 6.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Étape 6.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30))$

Étape 6.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 6.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 6.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 6.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 6.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 6.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 6.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 6.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 6.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 8 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 4 (2) (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 4 \cdot (2 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}))$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 2 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

Étape 8

Appliquez la propriété distributive.

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 2 \sqrt{6} + 2 (- \sqrt{2})$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$

$y = 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

Étape 10

La représentation rectangulaire du point polaire $(8, 15 °)$ est $(2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2})$ .

$(2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2})$