Trigonométrie Exemples

$\sec (t) = 2$ , $\sin (t) < 0$

Étape 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The secant function is positive in the first and fourth quadrants. The set of solutions for $t$ are limited to the fourth quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solution se trouve dans le quatrième quadrant.

Étape 2

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sec (t) = \frac{hypoténuse}{adjacent}$

Étape 3

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Opposé = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 4

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Opposé = - \sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 5.1

Inversez $\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$ .

Opposé $= - \sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

Opposé $= - \sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Opposé $= - \sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Opposé $= - \sqrt{4 - 1}$

Étape 5.5

Soustrayez $1$ de $4$ .

Opposé $= - \sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (t)$ .

$\sin (t) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (t) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (t) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 7.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (t)$ .

$\cos (t) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (t) = \frac{1}{2}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (t)$ .

$\tan (t) = \frac{opp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (t) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Étape 8.3

Divisez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$\tan (t) = - \sqrt{3}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (t)$ .

$\cot (t) = \frac{adj}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (t) = \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\cot (t)$ .

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 9.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\cot (t) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{3}}$

Étape 9.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (t) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (t) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (t)$ .

$\csc (t) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (t) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$

Étape 10.3

Simplifiez la valeur de $\csc (t)$ .

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Étape 10.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (t) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 10.3.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (t) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 10.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 10.3.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 10.3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 10.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 10.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 10.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 10.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 10.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (t) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (t) = \frac{1}{2}$

$\tan (t) = - \sqrt{3}$

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sec (t) = 2$

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$