Trigonométrie Exemples

$\csc (θ) = 4$ , $\cot (θ) < 0$

Étape 1

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. The cosecant function is positive in the first and second quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the second quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solution se trouve dans le deuxième quadrant.

Étape 2

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\csc (θ) = \frac{hypoténuse}{opposé}$

Étape 3

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 4

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = - \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 5.1

Inversez $\sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{16 - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Adjacent $= - \sqrt{16 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Adjacent $= - \sqrt{16 - 1}$

Étape 5.5

Soustrayez $1$ de $16$ .

Adjacent $= - \sqrt{15}$

Étape 6

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

Étape 7

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 7.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{4}$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{1}{- \sqrt{15}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de $\tan (θ)$ .

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 8.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{15}}$

Étape 8.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (θ) = - \frac{1}{\sqrt{15}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 8.3.3.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 8.3.3.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 8.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 8.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 8.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

Étape 8.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{1}$

Étape 9.3

Divisez $- \sqrt{15}$ par $1$ .

$\cot (θ) = - \sqrt{15}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{4}{- \sqrt{15}}$

Étape 10.3

Simplifiez la valeur de $\sec (θ)$ .

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Étape 10.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (θ) = - \frac{4}{\sqrt{15}}$

Étape 10.3.2

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{4}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Étape 10.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.3.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 10.3.3.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 10.3.3.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 10.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Étape 10.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 10.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 10.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Étape 10.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

$\cot (θ) = - \sqrt{15}$

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

$\csc (θ) = 4$