Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{\tan (x)}{1 - (\sec^{2} (x) - 1)}$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 3.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - (\sec^{2} (x) - 1)}$

Étape 3.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1)}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)}$

Étape 4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 - (\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1)}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - - 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 1}$

Étape 4.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 2}$

Étape 4.3.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 4.4

Associez.

$\frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 4.5

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) \frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 4.6

Associez $\cos (x)$ et $\frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x) (- 1 + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 4.7

Réduisez l’expression $\frac{\cos (x) (- 1 + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.7.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x) (- 1 + 2 {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \cos (x)}}$

Étape 4.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x) (- 1 + 2 {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \cos (x)}}$

Étape 4.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Étape 4.8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}$

Étape 4.9

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\cos (x)}{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}$

Étape 4.10

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{- 1 (1) + 2 {\cos (x)}^{2}}$

Étape 4.11

Factorisez $- 1$ à partir de $2 {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{- 1 (1) - (- 2 {\cos (x)}^{2})}$

Étape 4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- 2 {\cos (x)}^{2})$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{- 1 (1 - 2 {\cos (x)}^{2})}$

Étape 4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sin (x) \cos (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$

Étape 5

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x) \cos (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$

Étape 6

Associez.

$\frac{- (\sin (x) \cos (x))}{1 (1 - 2 \cos^{2} (x))}$

Étape 7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- \sin (x) \cos (x)}{1 (1 - 2 \cos^{2} (x))}$

Étape 8

Multipliez $1 - 2 {\cos (x)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- \sin (x) \cos (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\cos (x) \sin (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$

Étape 10

Réécrivez $- \frac{\cos (x) \sin (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$ comme $\frac{\sin (x) \cos (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1}$

Étape 11

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1}$ est une identité