Pré-calcul Exemples

$\sqrt{x^{2} - 2 x - 2} + \sqrt{2 x - 3} = 5$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 2 x - 2}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 2 x - 2 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Étape 2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Étape 2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Étape 2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Étape 2.7

Consolidez les solutions.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1 - \sqrt{3}$

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$

$x > 1 + \sqrt{3}$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1 - \sqrt{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1 - \sqrt{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 - 2 \geq 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $13$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2 \geq 0$

Étape 2.9.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1 + \sqrt{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1 + \sqrt{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 2.9.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

${(5)}^{2} - 2 \cdot 5 - 2 \geq 0$

Étape 2.9.3.3

Le côté gauche $13$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1 - \sqrt{3}$ Vrai

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Faux

$x > 1 + \sqrt{3}$ Vrai

$x < 1 - \sqrt{3}$ Vrai

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Faux

$x > 1 + \sqrt{3}$ Vrai

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 1 - \sqrt{3}$ ou $x \geq 1 + \sqrt{3}$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 x - 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 x - 3 \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$2 x \geq 3$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $2 x \geq 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x \geq 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{3}{2}$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[1 + \sqrt{3}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 1 + \sqrt{3}}$

Étape 6