Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2}{x^{3} - x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2}{x^{3} - x}$ est indéfinie.

$x = - 1, x = 0, x = 1$

Étape 2

Comme $\frac{2}{x^{3} - x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la gauche et $\frac{2}{x^{3} - x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la droite, $x = - 1$ est une asymptote verticale.

$x = - 1$

Étape 3

Comme $\frac{2}{x^{3} - x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{2}{x^{3} - x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 4

Comme $\frac{2}{x^{3} - x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la gauche et $\frac{2}{x^{3} - x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la droite, $x = 1$ est une asymptote verticale.

$x = 1$

Étape 5

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 1, 0, 1$

Étape 6

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 7

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 0$

$m = 3$

Étape 8

Comme $n < m$ , l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

$y = 0$

Étape 9

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 10

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1, 0, 1$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Aucune asymptote oblique

Étape 11