Pré-calcul Exemples

$g (x) = \frac{8}{1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{8}{1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{8}{1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Étape 3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$8 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$8 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Étape 3.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$8 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Étape 3.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$8 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Étape 3.1.6

Placez la limite dans l’exposant.

$8 \frac{1}{1 + e^{lim_{x \to \infty} - \frac{0.5}{x}}}$

Étape 3.1.7

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$8 \frac{1}{1 + e^{- lim_{x \to \infty} \frac{0.5}{x}}}$

Étape 3.1.8

Placez le terme $0.5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$8 \frac{1}{1 + e^{- 0.5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$8 \frac{1}{1 + e^{- 0.5 \cdot 0}}$

Étape 3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $- 0.5$ par $0$ .

$8 \frac{1}{1 + e^{0}}$

Étape 3.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 \frac{1}{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 (\frac{1}{2})$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (4) \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$4$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 4$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 4$

Aucune asymptote oblique

Étape 7