Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ est indéfinie.

$x = - 3, x = 0$

Étape 2

Comme $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la droite, $x = - 3$ est une asymptote verticale.

$x = - 3$

Étape 3

Comme $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 3, 0$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 3 x}$

Étape 8.1.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

Étape 8.1.1.3

Simplifiez

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Étape 8.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

Étape 8.1.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 3 x}$

Étape 8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 3 x$ .

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Étape 8.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + 3 x}$

Étape 8.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Étape 8.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Étape 8.2

Développez $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.7

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.8

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.9

Supprimez les parenthèses.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.10

Multipliez $- 1$ par $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.13

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.14

Factorisez le signe négatif.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.19

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.20

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.21

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.22

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.23

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.24

Déplacez $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.25

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.26

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.27

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.2.28

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x (x + 3)}$

Étape 8.3

Développez $x (x + 3)$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

Étape 8.3.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $3$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Étape 8.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Étape 8.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

Étape 8.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + 1}{x^{1 + 1} + 3 x}$

Étape 8.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

Étape 8.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 8.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 8.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Étape 8.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 3 x^{2} + 0$

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Étape 8.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

Étape 8.9

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

Étape 8.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Étape 8.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$3 x^{2}$	-	$9 x$	+	$0$

Étape 8.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} - 9 x + 0$

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

Étape 8.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$9 x$

$1$

Étape 8.14

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x - 3 + \frac{9 x + 1}{x^{2} + 3 x}$

Étape 8.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x - 3$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 3, 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x - 3$

Étape 10