Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{4} + 3 x^{2}}$

Étape 1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} + 3 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} x^{2} + 3 x^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} (x^{2} + 3)}$

Étape 1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$

Étape 1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x^{2} (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} (x^{2} + 3)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} (x^{2} + 3)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 3$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.5.2

Divisez $x^{4} + x^{2} - 9 x - 12$ par $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.1.2

Divisez $A (x^{2} + 3)$ par $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A (x^{2} + 3) + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.3

Déplacez $3$ à gauche de $A$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.4

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $B (x^{2} (x^{2} + 3))$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{B (x (x^{2} + 3))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.4.2.5

Divisez $B (x (x^{2} + 3))$ par $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x (x^{2} + 3)) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.6.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.6.6.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{1 + 2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.6.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{3} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.7

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{3} + 3 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.8

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + B (3 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.10

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 3$ .

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Étape 1.6.10.1

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Étape 1.6.10.2

Divisez $(C x + D) (x^{2})$ par $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + (C x + D) (x^{2})$

Étape 1.6.11

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Étape 1.6.12

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.12.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Étape 1.6.12.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.6.12.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Étape 1.6.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Étape 1.6.12.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x^{3} + D x^{2}$

Étape 1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.1

Déplacez $B$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 x B + C x^{3} + D x^{2}$

Étape 1.7.2

Déplacez $3 A$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + B x^{3} + 3 x B + C x^{3} + D x^{2} + 3 A$

Étape 1.7.3

Déplacez $3 x B$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + 3 x B + 3 A$

Étape 1.7.4

Déplacez $A x^{2}$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + 3 x B + 3 A$

Étape 2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{3}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = B + C$

Étape 2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + D$

Étape 2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 9 = 3 B$

Étape 2.4

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 12 = 3 A$

Étape 2.5

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 9 = 3 B$

$- 12 = 3 A$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 9 = 3 B$

$- 12 = 3 A$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Résolvez $B$ dans $- 9 = 3 B$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez l’équation comme $3 B = - 9$ .

$3 B = - 9$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $3 B = - 9$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $3 B = - 9$ par $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Étape 3.1.2.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.3.1

Divisez $- 9$ par $3$ .

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- 3$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = B + C$ par $- 3$ .

$0 = (- 3) + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’équation comme $3 A = - 12$ .

$3 A = - 12$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Étape 3.2.4

Divisez chaque terme dans $3 A = - 12$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $3 A = - 12$ par $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Étape 3.2.4.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Étape 3.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.3.1

Divisez $- 12$ par $3$ .

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- 4$ dans chaque équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 + C = 0$ .

$- 3 + C = 0$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Étape 3.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = A + D$ par $- 4$ .

$1 = (- 4) + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Étape 3.3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.4.1

Supprimez les parenthèses.

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Étape 3.4

Résolvez $D$ dans $1 = - 4 + D$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 + D = 1$ .

$- 4 + D = 1$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Étape 3.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $D$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$D = 1 + 4$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Étape 3.5

Résolvez le système d’équations.

$D = 5 C = 3 A = - 4 B = - 3$

Étape 3.6

Indiquez toutes les solutions.

$D = 5, C = 3, A = - 4, B = - 3$

Étape 4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .

$- \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x} + \frac{3 x + 5}{x^{2} + 3}$

Étape 5

Multipliez $3$ par $x$ .

$\frac{- 4}{x^{2}} + \frac{- 3}{x} + \frac{3 x + 5}{x^{2} + 3}$