Pré-calcul Exemples

$\frac{4 y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2} - 8 y + 12$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2}$ .

$\frac{4 (y^{2}) - 8 y + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

Étape 1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 8 y$ .

$\frac{4 (y^{2}) + 4 (- 2 y) + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

Étape 1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 y^{2} + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 3}{y^{2} + y - 6} = 3$

Étape 1.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2} + 4 (- 2 y)$ .

$\frac{4 (y^{2} - 2 y) + 4 \cdot 3}{y^{2} + y - 6} = 3$

Étape 1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{2} - 2 y) + 4 \cdot 3$ .

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{y^{2} + y - 6} = 3$

Étape 1.2

Factorisez $y^{2} + y - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(y - 2) (y + 3), 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$(y - 2) (y + 3)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$ par $(y - 2) (y + 3)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$ par $(y - 2) (y + 3)$ .

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} ((y - 2) (y + 3)) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $(y - 2) (y + 3)$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} ((y - 2) (y + 3)) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 (y^{2} - 2 y + 3) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 3 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$4 y^{2} - 8 y + 4 \cdot 3 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Développez $(y - 2) (y + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y (y + 3) - 2 (y + 3))$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y \cdot y + y \cdot 3 - 2 (y + 3))$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y \cdot y + y \cdot 3 - 2 y - 2 \cdot 3)$

Étape 3.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + y \cdot 3 - 2 y - 2 \cdot 3)$

Étape 3.3.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + 3 \cdot y - 2 y - 2 \cdot 3)$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + 3 y - 2 y - 6)$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $2 y$ de $3 y$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + y - 6)$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 y^{2} + 3 y + 3 \cdot - 6$

Étape 3.3.4

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 y^{2} + 3 y - 18$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $3 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} - 8 y + 12 - 3 y^{2} = 3 y - 18$

Étape 4.1.2

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} - 8 y + 12 - 3 y^{2} - 3 y = - 18$

Étape 4.1.3

Soustrayez $3 y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$y^{2} - 8 y + 12 - 3 y = - 18$

Étape 4.1.4

Soustrayez $3 y$ de $- 8 y$ .

$y^{2} - 11 y + 12 = - 18$

Étape 4.2

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 11 y + 12 + 18 = 0$

Étape 4.3

Additionnez $12$ et $18$ .

$y^{2} - 11 y + 30 = 0$

Étape 4.4

Factorisez $y^{2} - 11 y + 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $30$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 6, - 5$

Étape 4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(y - 6) (y - 5) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 6 = 0$

$y - 5 = 0$

Étape 4.6

Définissez $y - 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $y - 6$ égal à $0$ .

$y - 6 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 6$

Étape 4.7

Définissez $y - 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $y - 5$ égal à $0$ .

$y - 5 = 0$

Étape 4.7.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 5$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 6) (y - 5) = 0$ vraie.

$y = 6, 5$