Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(x^{\frac{2}{3}} - 1)}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{2}{3}} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 7.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 7.3

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0)$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Additionnez $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ et $0$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9.2

Associez $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)$

Étape 9.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Étape 10.2

Associez des termes.

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Étape 10.2.1

Associez $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ et $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Étape 10.2.2

Placez $x^{\frac{1}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{4 x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Étape 10.2.3

Multipliez $x^{\frac{2}{3}}$ par $x^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.3.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Étape 10.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Étape 10.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x^{\frac{- 1 + 2}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Étape 10.2.3.4

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Étape 10.2.4

Associez $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ et $- 1$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot - 1}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$