Pré-calcul Exemples

$\ln (\sqrt[4]{\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))}}$ comme ${(\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\ln ({(\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))})}^{\frac{1}{4}})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))})}^{\frac{1}{4}})$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} \ln (\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))})$

Étape 3

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{3 (2 x + 1)}{16 (x - 5) (x^{2} + 1)})$

Étape 4

Réécrivez $\ln (\frac{3 (2 x + 1)}{16 (x - 5) (x^{2} + 1)})$ comme $\ln (3 (2 x + 1)) - \ln (16 (x - 5) (x^{2} + 1))$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3 (2 x + 1)) - \ln (16 (x - 5) (x^{2} + 1)))$

Étape 5

Réécrivez $\ln (3 (2 x + 1))$ comme $\ln (3) + \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - \ln (16 (x - 5) (x^{2} + 1)))$

Étape 6

Réécrivez $\ln (16 (x - 5) (x^{2} + 1))$ comme $\ln (16 (x - 5)) + \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (\ln (16 (x - 5)) + \ln (x^{2} + 1)))$

Étape 7

Réécrivez $\ln (16 (x - 5))$ comme $\ln (16) + \ln (x - 5)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (\ln (16) + \ln (x - 5) + \ln (x^{2} + 1)))$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Réécrivez $\ln (16)$ comme $\ln (2^{4})$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (\ln (2^{4}) + \ln (x - 5) + \ln (x^{2} + 1)))$

Étape 8.1.2

Développez $\ln (2^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (4 \ln (2) + \ln (x - 5) + \ln (x^{2} + 1)))$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (4 \ln (2)) - \ln (x - 5) - \ln (x^{2} + 1))$

Étape 8.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - 4 \ln (2) - \ln (x - 5) - \ln (x^{2} + 1))$

Étape 9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \ln (3) + \frac{1}{4} \ln (2 x + 1) + \frac{1}{4} (- 4 \ln (2)) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (3)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{1}{4} \ln (2 x + 1) + \frac{1}{4} (- 4 \ln (2)) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (2 x + 1)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} + \frac{1}{4} (- 4 \ln (2)) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \ln (2)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} + \frac{1}{4} (4 (- \ln (2))) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} + \frac{1}{4} (4 (- \ln (2))) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} - \ln (2) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Étape 10.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (x - 5)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} - \ln (2) - \frac{\ln (x - 5)}{4} + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Étape 10.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} - \ln (2) - \frac{\ln (x - 5)}{4} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{4}$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (3) + \ln (2 x + 1)}{4} - \ln (2) - \frac{\ln (x - 5)}{4} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{4}$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (3) + \ln (2 x + 1) - \ln (x - 5)}{4} - \ln (2) - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{4}$

Étape 13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (3) + \ln (2 x + 1) - \ln (x - 5) - \ln (x^{2} + 1)}{4} - \ln (2)$