Pré-calcul Exemples

$\log_{3} (\sqrt{22} - 4) + \log_{3} (\sqrt{22} + 4)$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((\sqrt{22} - 4) (\sqrt{22} + 4))$

Étape 2

Développez $(\sqrt{22} - 4) (\sqrt{22} + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (\sqrt{22} (\sqrt{22} + 4) - 4 (\sqrt{22} + 4))$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (\sqrt{22} \sqrt{22} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 (\sqrt{22} + 4))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (\sqrt{22} \sqrt{22} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\log_{3} (\sqrt{22 \cdot 22} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Étape 3.1.2

Multipliez $22$ par $22$ .

$\log_{3} (\sqrt{484} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Étape 3.1.3

Réécrivez $484$ comme $22^{2}$ .

$\log_{3} (\sqrt{22^{2}} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Étape 3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\log_{3} (22 + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Étape 3.1.5

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{22}$ .

$\log_{3} (22 + 4 \cdot \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\log_{3} (22 + 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} - 16)$

Étape 3.2

Soustrayez $16$ de $22$ .

$\log_{3} (6 + 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22})$

Étape 3.3

Soustrayez $4 \sqrt{22}$ de $4 \sqrt{22}$ .

$\log_{3} (6 + 0)$

Étape 3.4

Additionnez $6$ et $0$ .

$\log_{3} (6)$

Étape 4

Réécrivez $\log_{3} (6)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 4.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (6)}{\log (3)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (6)}{\log (3)}$

Forme décimale :

$1.63092975 \dots$