Pré-calcul Exemples

$\log_{3} (\sqrt{\frac{27}{81}})$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $27$ et $81$ .

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Étape 1.1

Factorisez $27$ à partir de $27$ .

$\log_{3} (\sqrt{\frac{27 (1)}{81}})$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$\log_{3} (\sqrt{\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}})$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{3} (\sqrt{\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}})$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{3} (\sqrt{\frac{1}{3}})$

Étape 2

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}})$

Étape 3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})$

Étape 4

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Étape 5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})$

Étape 5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Étape 5.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Étape 5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Étape 5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{3^{1}})$

Étape 5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{3} (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 6

Réécrivez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ comme $\sqrt{3} \cdot 3^{- 1}$ .

$\log_{3} (\sqrt{3} \cdot 3^{- 1})$

Étape 7

Réécrivez $\log_{3} (\sqrt{3} \cdot 3^{- 1})$ comme $\log_{3} (\sqrt{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$ .

$\log_{3} (\sqrt{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$

Étape 8

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$\log_{3} (\sqrt{3}) - \log_{3} (3)$

Étape 9

La base logarithmique $3$ de $3$ est $1$ .

$\log_{3} (\sqrt{3}) - 1 \cdot 1$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\log_{3} (\sqrt{3}) - 1$

Étape 11

Réécrivez $\log_{3} (\sqrt{3})$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 11.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Étape 11.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt{3})}{\log (3)} - 1$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (\sqrt{3})}{\log (3)} - 1$

Forme décimale :

$- 0.5$