Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (4 \sqrt{\frac{1}{25}})$

Étape 1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$\log_{5} (4 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}})$

Étape 2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\log_{5} (4 \frac{1}{\sqrt{25}})$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\log_{5} (4 \frac{1}{\sqrt{5^{2}}})$

Étape 3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\log_{5} (4 (\frac{1}{5}))$

Étape 4

Associez $4$ et $\frac{1}{5}$ .

$\log_{5} (\frac{4}{5})$

Étape 5

Réécrivez $\frac{4}{5}$ comme $4 \cdot 5^{- 1}$ .

$\log_{5} (4 \cdot 5^{- 1})$

Étape 6

Réécrivez $\log_{5} (4 \cdot 5^{- 1})$ comme $\log_{5} (4) + \log_{5} (5^{- 1})$ .

$\log_{5} (4) + \log_{5} (5^{- 1})$

Étape 7

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$\log_{5} (4) - \log_{5} (5)$

Étape 8

La base logarithmique $5$ de $5$ est $1$ .

$\log_{5} (4) - 1 \cdot 1$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\log_{5} (4) - 1$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Réécrivez $\log_{5} (4)$ comme $\log_{5} (2^{2})$ .

$\log_{5} (2^{2}) - 1$

Étape 10.2

Développez $\log_{5} (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$2 \log_{5} (2) - 1$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1

Réécrivez $\log_{5} (2)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 11.1.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$2 \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Étape 11.1.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$2 \frac{\log (2)}{\log (5)} - 1$

Étape 11.2

Multipliez $2 \frac{\log (2)}{\log (5)}$ .

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Étape 11.2.1

Associez $2$ et $\frac{\log (2)}{\log (5)}$ .

$\frac{2 \log (2)}{\log (5)} - 1$

Étape 11.2.2

Simplifiez $2 \log (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\log (2^{2})}{\log (5)} - 1$

Étape 11.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\log (4)}{\log (5)} - 1$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (4)}{\log (5)} - 1$

Forme décimale :

$- 0.13864688 \dots$