Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (x - 3) + \log_{5} (\log_{5} (10))$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 3) \log_{5} (10))$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - 3 \log_{5} (10))$

Étape 3

Simplifiez $- 3 \log_{5} (10)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (10^{3}))$

Étape 4

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$

Étape 5

Réécrivez $\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 5.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Réécrivez $\log_{5} (10)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 6.1.1.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\frac{\log (x \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Étape 6.1.1.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (x \frac{\log (10)}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Étape 6.1.2

La base logarithmique $10$ de $10$ est $1$ .

$\frac{\log (x \frac{1}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Étape 6.1.3

Associez $x$ et $\frac{1}{\log (5)}$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $\log_{5} (1000)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 6.1.4.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (5)}$

Étape 6.1.4.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000)}{\log (5)})}{\log (5)}$

Étape 6.1.5

La base logarithmique $10$ de $1000$ est $3$ .

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Étape 6.1.5.1

Réécrivez comme une équation.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000) = x}{\log (5)})}{\log (5)}$

Étape 6.1.5.2

Réécrivez $\log (1000) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 1000}{\log (5)})}{\log (5)}$

Étape 6.1.5.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 10^{3}}{\log (5)})}{\log (5)}$

Étape 6.1.5.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{x = 3}{\log (5)})}{\log (5)}$

Étape 6.1.5.5

La variable $x$ est égale à $3$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{3}{\log (5)})}{\log (5)}$

Étape 6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\log (\frac{x - 3}{\log (5)})}{\log (5)}$