Pré-calcul Exemples

$\log_{2} (2 \sqrt{8} \cdot (\sqrt[3]{\frac{1}{4}}))$

Étape 1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\log_{2} (2 \sqrt{4 (2)} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Étape 1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\log_{2} (2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Étape 2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\log_{2} (2 (2 \sqrt{2}) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Étape 3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Étape 4

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}})$

Étape 5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}})$

Étape 6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}))$

Étape 7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Étape 7.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}})$

Étape 7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}})$

Étape 7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

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Étape 7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Étape 7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Étape 7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}})$

Étape 7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}})$

Étape 7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}})$

Étape 7.5.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4})$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4})$

Étape 8.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{16}}{4})$

Étape 8.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4})$

Étape 8.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4})$

Étape 8.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\log_{2} (4 (\sqrt{2}) \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Étape 9.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (\sqrt{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2}))$

Étape 10

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $6$ .

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Étape 10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} (2 (2^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2}))$

Étape 10.2

Réécrivez $2^{\frac{1}{2}}$ comme $2^{\frac{3}{6}}$ .

$\log_{2} (2 (2^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{2}))$

Étape 10.3

Réécrivez $2^{\frac{3}{6}}$ comme $\sqrt[6]{2^{3}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[3]{2}))$

Étape 10.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}))$

Étape 10.5

Réécrivez $2^{\frac{1}{3}}$ comme $2^{\frac{2}{6}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \cdot 2^{\frac{2}{6}}))$

Étape 10.6

Réécrivez $2^{\frac{2}{6}}$ comme $\sqrt[6]{2^{2}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[6]{2^{2}}))$

Étape 11

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{3} \cdot 2^{2}})$

Étape 12

Multipliez $2^{3}$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{3 + 2}})$

Étape 12.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{5}})$

Étape 13

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{32})$

Étape 14

Réécrivez $\log_{2} (2 \sqrt[6]{32})$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 14.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Étape 14.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (2 \sqrt[6]{32})}{\log (2)}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (2 \sqrt[6]{32})}{\log (2)}$

Forme décimale :

$1.8\overline{3}$