Pré-calcul Exemples

$\log_{2} (\sqrt{\frac{x^{3} y^{6}}{5 z^{2}}})$

Étape 1

Réécrivez $\frac{x^{3} y^{6}}{5 z^{2}}$ comme ${(\frac{x y^{3}}{z})}^{2} \frac{x}{5}$ .

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Étape 1.1

Factorisez la puissance parfaite ${(x y^{3})}^{2}$ dans $x^{3} y^{6}$ .

$\log_{2} (\sqrt{\frac{{(x y^{3})}^{2} x}{5 z^{2}}})$

Étape 1.2

Factorisez la puissance parfaite $z^{2}$ dans $5 z^{2}$ .

$\log_{2} (\sqrt{\frac{{(x y^{3})}^{2} x}{z^{2} \cdot 5}})$

Étape 1.3

Réorganisez la fraction $\frac{{(x y^{3})}^{2} x}{z^{2} \cdot 5}$ .

$\log_{2} (\sqrt{{(\frac{x y^{3}}{z})}^{2} \frac{x}{5}})$

Étape 2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\log_{2} (\frac{x y^{3}}{z} \sqrt{\frac{x}{5}})$

Étape 3

Réécrivez $\sqrt{\frac{x}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{2} (\frac{x y^{3}}{z} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}})$

Étape 4

Associez.

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x}}{z \sqrt{5}})$

Étape 5

Multipliez $\frac{x y^{3} \sqrt{x}}{z \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x}}{z \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{x y^{3} \sqrt{x}}{z \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt{5}}{z \sqrt{5} \sqrt{5}})$

Étape 6.2

Déplacez $\sqrt{5}$ .

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt{5}}{z (\sqrt{5} \sqrt{5})})$

Étape 6.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt{5}}{z ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})$

Étape 6.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt{5}}{z ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})$

Étape 6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt{5}}{z {\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Étape 6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt{5}}{z {\sqrt{5}}^{2}})$

Étape 6.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 6.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt{5}}{z {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt{5}}{z \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt{5}}{z \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt{5}}{z \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt{5}}{z \cdot 5^{1}})$

Étape 6.7.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{x} \sqrt{5}}{z \cdot 5})$

Étape 7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{5 x}}{z \cdot 5})$

Étape 8

Déplacez $5$ à gauche de $z$ .

$\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{5 x}}{5 z})$

Étape 9

Réécrivez $\log_{2} (\frac{x y^{3} \sqrt{5 x}}{5 z})$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 9.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x y^{3} \sqrt{5 x}}{5 z})}{\log (2)}$