Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{2} \cdot (\log (x + 1) - 2 \log (x - 1) - 3 \log (x))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $- 2 \log (x - 1)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{1}{2} \cdot (\log (x + 1) - \log ({(x - 1)}^{2}) - 3 \log (x))$

Étape 1.2

Simplifiez $- 3 \log (x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{1}{2} \cdot (\log (x + 1) - \log ({(x - 1)}^{2}) - \log (x^{3}))$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\log (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) - \log (x^{3}))$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}}{x^{3}})$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Étape 5

Multipliez $\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2} x^{3}})$

Étape 6

Simplifiez $\frac{1}{2} \log (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2} x^{3}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\log ({(\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2} x^{3}})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2} x^{3}}$ .

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{2} x^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.2

Appliquez la règle de produit à ${(x - 1)}^{2} x^{3}$ .

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 8.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 8.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{1} {(x^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 8.2

Simplifiez

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(x - 1) {(x^{3})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 8.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(x - 1) x^{3 (\frac{1}{2})}})$

Étape 8.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(x - 1) x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(x - 1) x^{\frac{3}{2}}})$ .

$\log (\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}} (x - 1)})$