Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{\log_{5} (35)} + \frac{1}{\log_{7} (35)}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{1}{\log_{5} (35)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\log_{7} (35)}{\log_{7} (35)}$ .

$\frac{1}{\log_{5} (35)} \cdot \frac{\log_{7} (35)}{\log_{7} (35)} + \frac{1}{\log_{7} (35)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{\log_{7} (35)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35)}$ .

$\frac{1}{\log_{5} (35)} \cdot \frac{\log_{7} (35)}{\log_{7} (35)} + \frac{1}{\log_{7} (35)} \cdot \frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\log_{5} (35) \log_{7} (35)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{\log_{5} (35)}$ par $\frac{\log_{7} (35)}{\log_{7} (35)}$ .

$\frac{\log_{7} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)} + \frac{1}{\log_{7} (35)} \cdot \frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{\log_{7} (35)}$ par $\frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35)}$ .

$\frac{\log_{7} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)} + \frac{\log_{5} (35)}{\log_{7} (35) \log_{5} (35)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $\log_{7} (35) \log_{5} (35)$ .

$\frac{\log_{7} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)} + \frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\log_{7} (35) + \log_{5} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $\log_{7} (35)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 5.1.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\frac{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{5} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Étape 5.1.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} + \log_{5} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Étape 5.2

Réécrivez $\log_{5} (35)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 5.2.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Étape 5.2.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} + \frac{\log (35)}{\log (5)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Étape 5.3

Pour écrire $\frac{\log (35)}{\log (7)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} \cdot \frac{\log (5)}{\log (5)} + \frac{\log (35)}{\log (5)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Étape 5.4

Pour écrire $\frac{\log (35)}{\log (5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\log (7)}{\log (7)}$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} \cdot \frac{\log (5)}{\log (5)} + \frac{\log (35)}{\log (5)} \cdot \frac{\log (7)}{\log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Étape 5.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\log (7) \log (5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.1

Multipliez $\frac{\log (35)}{\log (7)}$ par $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5)}{\log (7) \log (5)} + \frac{\log (35)}{\log (5)} \cdot \frac{\log (7)}{\log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Étape 5.5.2

Multipliez $\frac{\log (35)}{\log (5)}$ par $\frac{\log (7)}{\log (7)}$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5)}{\log (7) \log (5)} + \frac{\log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Étape 5.5.3

Réorganisez les facteurs de $\log (7) \log (5)$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5)}{\log (5) \log (7)} + \frac{\log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Étape 5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Réécrivez $\log_{5} (35)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 6.1.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{7} (35)}$

Étape 6.1.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log (35)}{\log (5)} \log_{7} (35)}$

Étape 6.2

Réécrivez $\log_{7} (35)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 6.2.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log (35)}{\log (5)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log (35)}{\log (5)} \cdot \frac{\log (35)}{\log (7)}}$

Étape 7

Multipliez $\frac{\log (35)}{\log (5)}$ par $\frac{\log (35)}{\log (7)}$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log (35) \log (35)}{\log (5) \log (7)}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Élevez $\log (35)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log^{1} (35) \log (35)}{\log (5) \log (7)}}$

Étape 8.2

Élevez $\log (35)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log^{1} (35) \log^{1} (35)}{\log (5) \log (7)}}$

Étape 8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{{\log (35)}^{1 + 1}}{\log (5) \log (7)}}$

Étape 8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log^{2} (35)}{\log (5) \log (7)}}$

Étape 9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)} \cdot \frac{\log (5) \log (7)}{\log^{2} (35)}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $\log (5) \log (7)$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)} \cdot \frac{\log (5) \log (7)}{\log^{2} (35)}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$(\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$\log (35) \log (5) \frac{1}{\log^{2} (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $\log (35)$ .

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Étape 12.1

Factorisez $\log (35)$ à partir de $\log (35) \log (5)$ .

$\log (35) (\log (5)) \frac{1}{\log^{2} (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Étape 12.2

Factorisez $\log (35)$ à partir de $\log^{2} (35)$ .

$\log (35) (\log (5)) \frac{1}{\log (35) \log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun.

$\log (35) \log (5) \frac{1}{\log (35) \log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Étape 12.4

Réécrivez l’expression.

$\log (5) \frac{1}{\log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Étape 13

Associez $\log (5)$ et $\frac{1}{\log (35)}$ .

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $\log (35)$ .

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Étape 14.1

Factorisez $\log (35)$ à partir de $\log (35) \log (7)$ .

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (35) (\log (7)) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Étape 14.2

Factorisez $\log (35)$ à partir de $\log^{2} (35)$ .

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (35) (\log (7)) \frac{1}{\log (35) \log (35)}$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log (35) \log (35)}$

Étape 14.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (7) \frac{1}{\log (35)}$

Étape 15

Associez $\log (7)$ et $\frac{1}{\log (35)}$ .

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \frac{\log (7)}{\log (35)}$

Étape 16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\log (5) + \log (7)}{\log (35)}$

Étape 17

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (5 \cdot 7)}{\log (35)}$

Étape 18

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{\log (35)}{\log (35)}$

Étape 19

Annulez le facteur commun de $\log (35)$ .

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Étape 19.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\log (35)}{\log (35)}$

Étape 19.2

Réécrivez l’expression.

$1$