Pré-calcul Exemples

$\log_{b} ({(\sqrt{\frac{x^{9}}{y^{7} z^{9}}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 1

Réécrivez $\frac{x^{9}}{y^{7} z^{9}}$ comme ${(\frac{x^{4}}{y^{3} z^{4}})}^{2} \frac{x}{y z}$ .

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Étape 1.1

Factorisez la puissance parfaite ${(x^{4})}^{2}$ dans $x^{9}$ .

$\log_{b} ({\sqrt{\frac{{(x^{4})}^{2} x}{y^{7} z^{9}}}}^{\frac{1}{7}})$

Étape 1.2

Factorisez la puissance parfaite ${(y^{3} z^{4})}^{2}$ dans $y^{7} z^{9}$ .

$\log_{b} ({\sqrt{\frac{{(x^{4})}^{2} x}{{(y^{3} z^{4})}^{2} (y z)}}}^{\frac{1}{7}})$

Étape 1.3

Réorganisez la fraction $\frac{{(x^{4})}^{2} x}{{(y^{3} z^{4})}^{2} (y z)}$ .

$\log_{b} ({\sqrt{{(\frac{x^{4}}{y^{3} z^{4}})}^{2} \frac{x}{y z}}}^{\frac{1}{7}})$

Étape 2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4}}{y^{3} z^{4}} \sqrt{\frac{x}{y z}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 3

Réécrivez $\sqrt{\frac{x}{y z}}$ comme $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y z}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4}}{y^{3} z^{4}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y z}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 4

Associez.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x}}{y^{3} z^{4} \sqrt{y z}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 5

Multipliez $\frac{x^{4} \sqrt{x}}{y^{3} z^{4} \sqrt{y z}}$ par $\frac{\sqrt{y z}}{\sqrt{y z}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x}}{y^{3} z^{4} \sqrt{y z}} \cdot \frac{\sqrt{y z}}{\sqrt{y z}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{x^{4} \sqrt{x}}{y^{3} z^{4} \sqrt{y z}}$ par $\frac{\sqrt{y z}}{\sqrt{y z}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} \sqrt{y z} \sqrt{y z}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6.2

Déplacez $\sqrt{y z}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} (\sqrt{y z} \sqrt{y z})})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6.3

Élevez $\sqrt{y z}$ à la puissance $1$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} ({\sqrt{y z}}^{1} \sqrt{y z})})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6.4

Élevez $\sqrt{y z}$ à la puissance $1$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} ({\sqrt{y z}}^{1} {\sqrt{y z}}^{1})})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {\sqrt{y z}}^{1 + 1}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {\sqrt{y z}}^{2}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6.7

Réécrivez ${\sqrt{y z}}^{2}$ comme $y z$ .

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Étape 6.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y z}$ comme ${(y z)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {({(y z)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {(y z)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {(y z)}^{\frac{2}{2}}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {(y z)}^{\frac{2}{2}}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} {(y z)}^{1}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6.7.5

Simplifiez

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{3} z^{4} (y z)})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 7

Multipliez $y^{3}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Déplacez $y$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y \cdot y^{3} z^{4} z})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 7.2

Multipliez $y$ par $y^{3}$ .

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Étape 7.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{1} y^{3} z^{4} z})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{1 + 3} z^{4} z})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 7.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{4} z^{4} z})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 8

Multipliez $z^{4}$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Déplacez $z$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{4} (z \cdot z^{4})})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 8.2

Multipliez $z$ par $z^{4}$ .

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Étape 8.2.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{4} (z^{1} z^{4})})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{4} z^{1 + 4}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 8.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{x} \sqrt{y z}}{y^{4} z^{5}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\log_{b} ({(\frac{x^{4} \sqrt{y z x}}{y^{4} z^{5}})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 10

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{4} \sqrt{y z x}}{y^{4} z^{5}}$ .

$\log_{b} (\frac{{(x^{4} \sqrt{y z x})}^{\frac{1}{7}}}{{(y^{4} z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 10.2

Appliquez la règle de produit à $x^{4} \sqrt{y z x}$ .

$\log_{b} (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{{(y^{4} z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 10.3

Appliquez la règle de produit à $y^{4} z^{5}$ .

$\log_{b} (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{{(y^{4})}^{\frac{1}{7}} {(z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 11

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (\frac{x^{4 (\frac{1}{7})} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{{(y^{4})}^{\frac{1}{7}} {(z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 11.2

Associez $4$ et $\frac{1}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{{(y^{4})}^{\frac{1}{7}} {(z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{4})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 12.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{y^{4 (\frac{1}{7})} {(z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 12.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{y^{\frac{4}{7}} {(z^{5})}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 12.2

Multipliez les exposants dans ${(z^{5})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 12.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{y^{\frac{4}{7}} z^{5 (\frac{1}{7})}})$

Étape 12.2.2

Associez $5$ et $\frac{1}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{y^{\frac{4}{7}} z^{\frac{5}{7}}})$

Étape 13

Réécrivez $\log_{b} (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{y^{\frac{4}{7}} z^{\frac{5}{7}}})$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 13.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Étape 13.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x^{\frac{4}{7}} {\sqrt{y z x}}^{\frac{1}{7}}}{y^{\frac{4}{7}} z^{\frac{5}{7}}})}{\log (b)}$